一致同構

一致同構是指一致空間之間的同構，設

是兩個一致空間，若

是單滿映射，且

和

都是一致連續的，則稱

為一致同構，並且稱空間X和Y為一致等價的，兩個一致同構的合成、一個一致同構的逆以及一個空間到它自身上的恆等映射均為一致同構，所有一致空間的全體可以分成由一致等價的空間所組成的等價類。一個性質：若當它為某個一致空間X所具有時，也為每個與X一致等價的空間所具有，則稱這個性質為一致不變性 ^[1]  。

一致連續亦稱均勻連續，反映函數均勻變化的性質。設

是從集合

到R的實函數，若對任意

，存在

使

或對

有

則f稱為在E上一致連續.函數

一致連續的定義可完全類似給出,只要把

理解為

或

中的範數

，相對於一致連續，把f在E上連續稱為逐點連續，一致連續函數必逐點連續，反之不一定，但在

的有界閉集上連續的函數必一致連續，若f定義在開區間

上，則f一致連續當且僅當f連續,且

與

存在且有限。例如，對函數

有

故g不在

上一致連續，一致連續函數把柯西列映為柯西列，即若f一致連續，

是柯西列，則

也是柯西列；反之，定義在有界集上，把柯西列映為柯西列的函數必一致連續，一致連續函數的線性組合一致連續，兩個一致連續函數的複合函數一致連續，一致連續性是由海涅(Heine,H.E.)於1870年引入的 ^[1]  。

(1)一致連續設

和

為兩個一致空間，

是X到Y的映射，若對任何

，總存在

，使對所有

成立，則稱

為一致連續。

一致連續必定連續，但在一致拓撲下連續不一定一致連續。

(2)一致同構映射 可逆一致連續映射稱為一致同構映射。

一致同構映射一定是同胚，但同胚不一定是一致同構映射 ^[2]  。

(1) 一致性條件 設U是集X中的非空關係族，關係

，若下列條件成立

①對任何

②存在關係

使

③

④

⑤

則稱U為X的一個一致性。

(2)一致空間 若U為X的一個一致性，則稱X是在U下的一致空間或稱

為一致空間。設

和

是X的兩個一致性，若

，則稱

比

粗或稱

比

細。

對任何一個集X，由

所繁殖的一致性是最細的一致性。

度量空間可視為一致空間的一個特例。

(3)一致空間的度量化 若在一個一致空間可以規定一個距離，並且由這個距離產生的一致性與原來的一致性相同，則稱這個一致空間可度量化。

可度量化的兗要條件是：一致空間的一致性U有可數的基且它是

空間 ^[2]  。

設

為一致空間，對

存在x的一個鄰域

由所有這種鄰域所繁殖的拓撲稱為X的一致拓撲。