一致估計

一致估計(consistent estimator)亦稱相合估計和相容估計。是一種優良點估計。設總體ξ的概率分佈函數為F(x;θ)，θ∈Θ為未知參數，若可估函數g(θ)估計量θ(ξ₁，ξ₂，…，ξ_n)當n趨於無窮時，在某種意義下收斂於g(θ)，則稱θ(ξ₁，ξ₂，…，ξ_n)是g(θ)在這種收斂意義下的一致估計。它要求作為估計量的統計量，當樣本容量無限增大時，在某種意義下，收斂於待估計參數的真值。按收斂的意義不同將一致估計分為兩種：若當樣本容量n→∞時，對任意給定的ε>0，有： ^[1] 

則θ(ξ₁，ξ₂，…，ξ_n)稱為g(θ)的弱一致估計；若有：

則θ(ξ₁，ξ₂，…，ξ_n)稱為g(θ)的強一致估計。一致估計是點估計中最基本的大樣本準則。例如，正態總體N(μ，σ²)的樣本均值ξ就是E(ξ)的一致估計，因為根據大數定律，對任給ε>0，當n→∞時，有：

成立。這就表明ξ是E(ξ)的弱一致估計。

根據觀測值來推測母體參數的值或範圍的過程稱為估計。估計分為點估計和區間估 計。點估計，是根據觀測值估計出對母體參數θ的估計值T(X₁，X₂，…… X_n) 的過程。例如，在進行燈泡壽命測定時，根據幾個燈泡壽命 來推測一批燈泡壽命的過程，就為點估計。其過程是： 先抽取若干個燈泡做樣本來測取壽命值 (以小時為單位) ，樣本的壽命分別是X₁，X₂，……X_n，求出平均值X=X₁+X₂+……X_n/n和方差：

此時就用平均壽命去估計母體壽命μ，用方差S去估計母體 σ，即是點估計。

點估計又稱定值估計，是指直接用樣本平均數或樣本成數代替總體平均數或成數，而不考慮誤差的一種估計方法。例如對100名大學生進行收視率調查，調查結果是30%每天收看電視新聞，從而推斷， 在全體大學生中30%每天收看電視新聞。

一般説來，用抽樣指標估計總體指標，總會存在一定差異，但如果滿足下面3個要求，就可認為是合理估計或優良估計。1.無偏性。用抽樣指標估計總體指標時，個別樣本指標與總體指標間會有偏差，而用很多樣本指標的平均值估計總體指標，平均説來是無偏差的。2.一致性。用抽樣指標估計總體指標，當樣本單位數充分大時，抽樣指標將充分接近總體指標。3.有效性。用抽樣平均數和總體某一變量來估計總體平均數時，雖然兩者都是無偏估計量，但樣本平均數更靠近總體平均數，平均説來，它的離差較小，因此，是更優良的估計量。 ^[2] 

設總體或總體分佈的某個參數為θ，從該總體抽取含量為n的樣本，按一定概率估計總體參數θ在哪個範圍，即由樣本觀測值求θ的1-α可信區間，1-α稱可信度，通常取95%可信度，即α=0.05，求θ的95%可信區間。如求總體均數μ的1-α可信區間，求總體率π的1-α可信區間，求總體迴歸係數β的1-α可信區間等。θ的區間估計常和其點估計θ相結合。一般當樣本含量較大時(如n>30)，θ近似服從正態分佈，可用正態近似法求總體參數的1-α可信區間：

或簡寫成θ±uαS(θ)。s(θ)為θ的標準誤。通常求總體參數θ的95%可信區間：

或簡寫成θ±1.96s(θ)。可信區間的含義為：固定樣本含量n，從總體中作隨機抽樣，每個樣本可以算得一個可信區間，如95%可信區間，意味着做100次抽樣，算得100個可信區間，平均有95個可信區間包括總體參數(估計正確)，只有5個可信區間不包括總體參數(估計錯誤)。5%是小概率事件，實際發生的可能性小，因此，在實際應用中就認為總體參數在算得的一個可信區間內，冒5%犯錯誤的風險。可信區間的兩個要素：一是準確度，反映在可信度1-α的大小，越接近1越準確，如可信度99%比95%準確;二是精密度，反映在區間的長度，越小越精密。二者是矛盾的，需要兼顧。

樣本的已知函數，其作用是把樣本中有關總體的信息彙集起來，是數理統計學中一個重要的基本概念。常用統計量有樣本矩、次序統計量、U統計量和秩統計量等。其中U統計量是W.霍夫丁於1948年引進的。統計量的充分性和完全性是兩個重要概念，充分性是費希爾在1925年引進的，內曼和P.R.哈爾莫斯在1949年嚴格證明了一個判定統計量充分性的方法，叫做因子分解定理。統計量的分佈叫做抽樣分佈，它的研究是數理統計中的重要課題。對一維正態總體，有三個重要的抽樣分佈，即χ分佈、t分佈和F分佈。其中χ分佈是F.赫爾梅特於1875年在研究正態總體的樣本方差時得到的；t分佈是英國統計學家W.S.戈塞特(筆名“學生”)於1908年提出的；F分佈是費希爾在20世紀20年代提出的。 ^[3]