p進數分析

p進數域是有理數域裝備了與歐幾里德範數不同的p進範數後進行拓撲完備化得到的完備數域，一般記作。同樣是有理數域的完備化，與實數域有許多差異之處。然而，同樣可以對自變量取自中或值域在中的函數定義極限、微分、積分等概念，從而建立類似於實分析的分析學。定義在上的復值函數是局部緊羣理論的研究對象。而通常意義上的p進分析也指研究取值在上的函數之分析性質的理論。

p進數分析主要應用在數論中。在丟番圖幾何與丟番圖逼近理論中，p進數分析有重要作用。有些應用甚至需要涉及到基於p進數的泛函分析和譜理論。p進數分析在多重意義上較傳統的實分析或複分析更為“簡單”。這是因為p進數域的拓撲對應的是超度量而不是阿基米德度量。超度量對應的“三角不等式”相較阿基米德度量的三角不等式更強，因此能夠導出更強的結論。例如在級數論中，p進數項構成的無窮級數的收斂條件比實數項或複數項無窮級數的更簡單。基於同樣的原因，p進數域上的拓撲向量空間與實數域或複數域上的拓撲向量空間不同。例如前者中與凸性相關的性質以及哈恩－巴拿赫定理都不同於後者中的對應性質與定理。