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n次單位根
鎖定
n次單位根(n-th unit root)是一種重要的n次方根,數1在
複數範圍內的n次方根,稱為n次單位根,簡稱單位根。由此可知,所謂n次單位根,也就是
多項式x
n-1或方程x
n-1=0在複數域內的根
[1]
。
- 中文名
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n次單位根
- 外文名
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n-th unit root
- 所屬學科
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數學
- 所屬問題
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初等代數(數系)
- 簡 稱
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單位根
- 簡 介
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數1在複數範圍內的n次方根
n次單位根基本介紹
在
複數範圍內,1的n(n∈N)個不同的n次方根都稱為
n次單位根,簡稱單位根。它們是
n次單位根是方程ω
n-1=0的n個不同的根,除ω
0=1外,其餘n-1個也是n-1次方程ω
n-1+ω
n-2+…+ω+1=0的n-1個不同根
[2]
。
n次單位根n次單位根的性質
1.對於任何m∈Z
或
都是n次單位根,即
,但不同的單位根只有n個。例如取m=0,1,2,…,n-1時,就得到n個不同的n次單位根。當整數m=qn+k(q∈Z
+,k∈{0,1,2,…,n-1})時,ω
m=ω
qn+k=ω
k。
2.n次單位根的模為1,即|ωm|=1。
3.兩個n次單位根ωi,ωj的乘積仍是一個n次單位根,且ωi·ωj=ωi+j(i,j為任意整數)。由此可得:
1) (ωi)-1=ω-i。
2) (ωk)m=ωmk(m,k為任意整數,當m=0時,(ωk)0=1=ω0)。
3) ω
k=ω
l的
充分必要條件是k與l除以n後餘數相同,即k與l的差是n的倍數。
4) 任何一個單位根都可以寫成ω
1的冪,如ω
k=(ω
1)
k,有這種性質的n次單位根ω
1稱為n次本原單位根,簡稱n次原根或原根,當p與n互素且1≤p<n時,
都是n次原根。
5) 一個n次單位根的
共軛複數也是一個n次單位根,表示為
。
6) 對任何整數k,l有(ωk)l=(ωl)k。
4.設m是整數,則
由此可知:
1) 全部單位根的和為0,即
2) 設n次單位根ωk≠1,則
5.全部單位根把複平面上的單位圓周(|z|=1)n等分,構成了外接圓半徑為1的正n邊形的頂點,其中一個頂點是ω
0(1,0)
[2]
。
- 參考資料
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1.
楊子胥.高等代數 第二版:高等教育出版社,2007.7:第165頁
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2.
《數學辭海》編輯委員會.數學辭海·第一卷.北京:中國科學技術出版社,2002:第68頁