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T矩陣
鎖定
T矩陣(T-matrix)是一類特殊的矩陣，可用於構作鮑默特-霍爾表，若G={g1，g2，…，gn}為加法可換羣，X⊆G，M=(mij)，當gj-gi∈X時mij=1，否則mij=0，則稱M是關於X的Ⅰ型關聯矩陣，若X可劃分為X=X1∪X2，使gj-gi∈X1時mij=1，gi-gj∈X2時mij=-1，gj-gi∉X時mij=0，則稱M為Ⅰ型(0，1，-1)矩陣，若M1，M2，M3，M4是n階可換羣G上的4個(0，1，-1)矩陣，使對n2個位置的每一個恰有一個Mi在此位置上元素不為零，且M₁MT₁+M₂MT₂+M₃MT₃+M4MT4=nIn，其中In為單位矩陣，則稱這4個矩陣為T矩陣，若存在t階T矩陣，則存在t階鮑默特-霍爾表BH[4t]，許多已知的BH[4t]是從T矩陣得到的
[1]
。
- 中文名
- T矩陣
- 外文名
- T-matrix
- 所屬學科
- 數學
- 所屬問題
- 組合數學（組合設計理論）
- 簡 介
- 一類特殊的矩陣
目錄
- 1 基本介紹
T矩陣基本介紹
設
(i)對1≤j≤n，
恰有一個為±1,其餘3個均為0，
(ii)對1≤j≤n-1,恆有
用T-矩陣構造Baumert-Hall陣列
引理1設
為n階循環T-矩陣。則
(i)1≤i,j≤4,i≠j,則Xi與Xj不相交,即
(ii)
是一個(1,-1)-矩陣；
(iii)
(iv)對1≤i≤4,Xi的各行和都相等,設Xi的行和為ni,則
下述定理給出構作Baumert-Hall陣列的一個強有力方法。
定理1(Cooper，J.Wallis) 設
為n階循環T-矩陣，a，b，c，d為交換變元，令
式（7）
將式(6)與式(7)代入下述Goethal-Seidel陣列
式（8）
則得到一個OD(4n；n，n，n，n)。
在上述定理中，若取a=b=c=d=1，則得到一個4n階H-陣，於是得到下述結果。
定理2若存在一組長為n的T-序列。則存在4n階H-陣。
由定理1與定理2可見T-序列在構作Baumert-Hall陣列和Hadamard矩陣時所起的重要作用。一般來説，尋求長為n的T-序列並不容易。由引理1之(iv)可知。設
是一組長為n的T-序列，又設Ai中所有元素的和為ni，1≤i≤4，則必有
猜想1 設n≥1為奇數，則存在長為n的T-序列。
若上述猜想成立，則作為其推論，Hadamard猜想也就得到證明。
