IIR數字濾波器

IIR數字濾波器的系統函數可以寫成封閉函數的形式。

IIR數字濾波器採用遞歸型結構，即結構上帶有反饋環路。IIR濾波器運算結構通常由延時、乘以係數和相加等基本運算組成，可以組合成直接型、正準型、級聯型、並聯型四種結構形式，都具有反饋迴路。由於運算中的舍入處理，使誤差不斷累積，有時會產生微弱的寄生振盪。

IIR數字濾波器在設計上可以藉助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和橢圓濾波器等，有現成的設計數據或圖表可查，其設計工作量比較小，對計算工具的要求不高。在設計一個IIR數字濾波器時，我們根據指標先寫出模擬濾波器的公式，然後通過一定的變換，將模擬濾波器的公式轉換成數字濾波器的公式。

IIR數字濾波器的相位特性不好控制，對相位要求較高時，需加相位校準網絡。

IIR數字濾波器與FIR數字濾波器的區別

IIR濾波器的單位脈衝響應為無限長，網絡中有反饋迴路。FIR（Finite Impulse Response）濾波器的單位脈衝響應是有限長的，一般網絡中沒有反饋迴路。

FIR濾波器的系統函數一般是一個有理分式，分母多項式決定濾波器的反饋網絡。FIR濾波器的系統函數用下式表示

IIR數字濾波器幅頻特性精度很高，不是線性相位的，可以應用於對相位信息不敏感的音頻信號上；FIR數字濾波器的幅頻特性精度較之於IIR數字濾波器低，但是線性相位，就是不同頻率分量的信號經過fir濾波器後他們的時間差不變，這是很好的性質。

FIR數字濾波器是有限的單位響應也有利於對數字信號的處理，便於編程，用於計算的時延也小，這對實時的信號處理很重要。

利用MATLAB信號處理工具箱中的濾波器設計和分析工具(FDATool)可以很方便地設計出符合應用要求的未經量化的IIR數字濾波器。需要將MATLAB設計出的IIR數字濾波器進一步分解和量化，從而獲得可用FPGA實現的濾波器係數。

IIR數字濾波器的設計方法有兩類：間接設計法和直接設計法。間接設計法是藉助模擬濾波器設計方法進行設計的，先根據數字濾波器設計指標設計相應的過渡模擬濾波器，再將過渡模擬濾波器轉換為數字濾波器。直接設計法師在時域或頻域直接設計數字濾波器。

由於模擬濾波器設計理論非常成熟，而且有很多性能優良的典型濾波器可供選擇（如，巴特沃斯濾波器、切比雪夫濾波器、橢圓濾波器等），設計公式和圖表完善，而且許多實際應用需要模擬濾波器的數字仿真，所以間接設計法得到廣泛的應用。而直接設計法要求解聯立方程組，必須採用計算機輔助設計。在計算機普及的今天，各種設計方法都有現成的設計程序（或設計函數）可供調用，例如利用MATLAB仿真平台，可以設計不同類型的IIR濾波器。

按照實際需要確定濾波器的性能要求，比如確定所要設計的濾波器是低通、高通、帶通還是帶阻，截止頻率是多少，阻帶的衰減有多大，通帶的波動範圍是多少等等。

用一個因果穩定的系統函數(或差分方程、脈衝響應h(n))去逼近上述性能要求。此係統函數可分為兩類，即IIR系統函數與FIR系統函數。

用一個有限精度的運算去實現這個系統函數（速度、開銷、穩定性等)。這裏包括選擇算法結構，如級聯型、並聯型、正準型、橫截型或頻率採樣型等等；還包括選擇合適的字長以及選擇有效的數字處理方法等。

直接設計可以採用優化設計（CAD）法，數字濾波器的系統函數H（Z）的係數ai, bi或零極點ci, di等參數，可採用優化設計的方法。設計步驟：

1. 優化原則——最小均方誤差準則，絕對誤差準則等。

2. 賦予初值.

3. 一次次的改變參數賦值，根據優化準則計算誤差。

4. 改變參數賦值，再次計算誤差，如此迭代下去，直至誤差達到最小。示意圖如下

間接設計法的設計過程如下：

1） 確定數字濾波器指標；

2） 將數字濾波器指標轉換為相應的模擬濾波器指標；

3） 設計滿足指標要求的過渡模擬函數(s)；

4） 將過渡模擬函數(s)轉換為數字濾波器H(z)。示意圖如下：

把模擬濾波器Ha(S) 轉換為數字濾波器H(z)的實質是，用一種從s平面到z平面的映射函數將Ha(S) 轉換H(z)。對這種映射函數的要求是：因果穩定的模擬濾波器轉換為數字濾波器H(z)後仍然穩定；數字濾波器H(z)的頻率響應特性能夠近似模仿數字濾波器Ha(S)的片段常數頻率響應特性。常用的模擬-數字濾波器變換方法有：脈衝響應不變法和雙線性變換法，也就是根據兩種準則。

步驟：

1）對已知的(s) 進行拉氏反變換，求得(t)；(t) (nt)

2）對(t) 進行取樣，得(nt)；

3）令h(n)=T(nt)，以求得h(n)；

4）對h(n) 進行Z 變換，得H（Z）。

由於脈衝響應不變法存在缺點，即因為z=映射關係不是單值對應，所以，從s 平

面直接映射到z 平面時會產生混迭現象，而且脈衝響應不變法只適合頻率響應在高頻處單調遞減的模擬原型濾波器，因此其應用範圍受到限制。

雙線性變換法的主要目的是從根本上解決上述脈衝響應不變法的問題也付出了一定的代價。

雙線性變換法基本步驟：

1) 構造從S 平面到S1 平面的單值映射 :Ω = A tan(T/2)

2) 構造從S1 平面到Z 平面的單值映射： ω = T

實際上，不需要每次都從S 平面→S1平面→Z平面，而是直接求出S=f(Z) 的關係，然後代入Ha(s)，得H(z)，即H(z) = Ha(s)|s = f(z)。