系統函數

系統函數是個具有實係數的復變量S的有理函數，即實有理函數，所以它的極點和零點或者是實數而位於實軸上，或者是成共軛對的複數而位於與實軸對稱的位量上。就是説，系統函數的極點和零點的分佈必定對實軸成鏡像對稱。 ^[2] 

用單位脈衝響應h(n)可以表示線性時不變離散系統，這時 y（n）=x（n）*h（n） 兩邊取z變換：Y(z)=X(z)H(z)則定義為系統函數。它是單位脈衝響應的z變換。單位圓上的系統函數z=e就是系統的頻率響應。所以可以用單位脈衝響應的z變換來描述線性時不變離散系統。 ^[1] 

因果系統——單位脈衝響應h（n）是因果序列的系統，其系統函數H(z)具有包括∞點的收斂域：Rx- <|Z|≤∞

穩定系統——單位脈衝響應h（n）滿足絕對可和，因此穩定系統的H（z）必須在單位圓上收斂，即H(e)存在。

因果穩定系統——最普遍最重要的一種系統，其系統函數H（z）必須在從單位圓到∞的整個領域收斂，即1≤∣Z|≤∞ ， H（z）的全部極點在單位圓以內。因此，因果穩定系統的系統函數的全部極點必須在單位圓以內。

系統函數的極點和零點的分佈必定對實軸成鏡像對稱。

系統函數一般有n個有限的極點和m個有限的零點。如果n>m，則當s為無窮大時。函數值

為零。所以H(s)在無窮大處有一個（n-m）階的零點。如果n<m，則當s為無窮大時，函數值

亦為無窮大，所以H(s)在無窮大處有一個（m-n）階的極點。

根據函數分子和分母冪次的高低，可以有若干零點在無窮大處，或者若干極點在無窮大處，即從廣義上來説，系統函數極點和零點的數目應該相等。

以上關於極點、零點的分佈規律，是從系統函數為實有理函數得出的。只要系統是集總參數的和線性時不變的，它的各個系統函數都符合這規律。如果對系統再加以某種條件限制，則極點、零點的分佈也將有相應的進一步的限制。 ^[2]