Hopf分岔

微分方程理論在自動控制、航天技術、生態生物等方面一直有着廣泛的應用，在這些實際應用中，系統通常都是一些含有參數的微分方程組。考慮如下形式的系統：

dX/dt=f(X, λ,μ) (1)

系統（1）的解顯然隨參數μ的變化而變化。如果λ在λ等於一個確定值的一個小鄰域內變化時，系統（1）在相空間的相圖拓撲結構發生了變化，那麼就稱系統發生了分岔，稱λ為分岔參數，λ的確定值為分岔值。

而今在應用數學中，Hopf分岔理論已經成為研究微分方程小振幅週期解產生和消亡的經典工具。因此，對Hopf分岔的研究是十分有意義的。

不妨設系統（1） 的平衡點總在原點O，即：

f(0,μ)≡ 0

設 A(μ) =(Df)|(0,μ) ，且 A(μ)有特徵值

（H1）σ( μ) ±iω(μ) ,σ(0)=0,ω(0)=ωο

(H2) A(μ)的其它特徵值實部都小於0

在（H1）（H2）假定下，這時可以證明（詳見文獻[2]）

存在分岔函數g:(x, μ)=xr(x2, μ)，並且在原點附近的每一個解都一一對應到系統（1）的小振幅週期解。這裏，g 可由Lyapunov－Schmidt約化得到。

若再假設橫截性條件：

（H3） σ≠0

成立。其中，dσ/dλ≠0，那麼系統週期解 r 滿足

(H4) r(c0+c2r2+c4r4+…)=0

其中，c是關於的函數。

另由隱函數定理，可知（H4）有唯一解。若又有：

（H5） c2≠0（dr/dx≠0）

使極限環的存在唯一性得到保證，那麼：

（H4）式即定義了一條漸近拋物線，且滿足對任意同號 λ 存在唯一 r＞0，並且不存在 r 使 λ 異號。

該條曲線即為經典Hopf分岔的圖像。

我們給出Hopf分岔的定義：

定義1 若系統（1）滿足條件（H1）（H2）（H3）（H5），即稱該系統將發生Hopf分岔。

這裏，參數不會引起系統相圖拓撲發生質的改變，但是若系統不滿足條件（4）和（6）任意其中之一，則將對系統產生重要影響。

定義2 若系統（1）對條件（H3）(H5)至少有一個不滿足，則稱其為退化Hopf分岔的情形。

下面就對退化的Hopf分岔作一些簡要的討論。

情形2 若（H5）成立，而（H3）不成立