橫截性條件

橫截性條件是當容許函數在固定邊界滿足一定的約束的情形時，由變分為零導出的極值函數在邊界上滿足的條件。

變分積分

的積分區域Ω是Rⁿ中的有界區域，

，u滿足邊界條件

其中

，設 Gⁱ 在

上屬C²，

在集

的每點秩為 r ，對每一

，集合

是 R^N中的(N-r)維流形，法向量場是

。若

是泛函 J 在邊界約束(1)（即

）下的平穩函數，則 u 滿足邊界條件

其中

是𝝏Ω的單位外法向， F_p 的分量是

表示 M(x) 在 u(x) 的切空間，條件 (2)表明在𝝏Ω 上的分量為

的向量

正交於流行 M(x) 條件 (2) 稱為橫截性條件。

例如，設 J(u) 是某路徑

的加權距離，則

權ω(z)>0 並且是 C¹(R^N) 類的。此時橫截性條件(2)等價於正交條件，即連結 R^N 中一固定點 P 和 R^N 中某流形 M 上的某點的最短路徑必和 M 交成直角。 ^[1]