格拉姆矩陣

在線性代數中，內積空間中一族向量的格拉姆矩陣（Gramian matrix 或 Gram matrix, Gramian）是內積的對稱矩陣，其元素由

給出。 ^[1] 

一個重要的應用是計算線性無關：一族向量線性無關當且僅當格拉姆行列式（格拉姆矩陣的行列式）不等於零。

格拉姆矩陣以丹麥數學家約爾根·佩爾森·格拉姆（Jørgen Pedersen Gram）命名。

最常見地，向量是歐幾里得空間中元素，或L空間中函數，比如閉區間[a,b] 上的連續函數（是L（[a,b]）的子集）。

給定區間

上的實值函數

，格拉姆矩陣

，由函數的標準內積給出：

給定一個實矩陣A，矩陣AA是A的列向量的格拉姆矩陣，而矩陣AA是A的行向量的格拉姆矩陣。

對一般任何域上的有限維向量空間上的雙線性形式B，我們可對一組向量

定義一個格拉姆矩陣G為

。如果雙線性形式B對稱則該格拉姆矩陣對稱。

如果向量是隨機變量，所得格拉姆矩陣是協方差矩陣。 ^[2] 

在量子化學中，一組基向量的格拉姆矩陣是重疊矩陣（Overlap matrix）。

在控制論（或更一般的系統理論中），可控性格拉姆矩陣（controllability Gramian）與可觀測性格拉姆矩陣（observability Gramian）確定了線性系統的性質。

格拉姆矩陣出現在協方差結構模型中。

在有限元方法中，格拉姆矩陣出現在從有限維空間逼近函數時；格拉姆矩陣的元素是有限維子空間的基函數的內積。

格拉姆矩陣是半正定的，反之每個半正定矩陣是某些向量的格拉姆矩陣。這組向量一般不是惟一的：任何正交基的格拉姆矩陣是恆同矩陣。 ^[2] 

這個命題無窮維類比是Mercer 定理（Mercer's theorem）。

在一個由可逆矩陣 P 表示的基變換下，格拉姆矩陣是用 P 做一個矩陣合同變為 P^TGP。

格拉姆行列式（Gram determinant 或 Gramian）是格拉姆矩陣的行列式：

在幾何上，格拉姆行列式是這些向量形成的平行多面體的體積之平方。特別地，這些向量線性無關當且僅當格拉姆行列式不為零（當且僅當格拉姆矩陣非奇異）。