凱萊定理

所有羣G同構於在G上的對稱羣的子羣，集合G的排列是任何從G到G的雙射函數；所有這種函數的集合形成了在函數複合下的一個羣，叫做“G上的對稱羣”並寫為Sym(G)。

凱萊定理通過把任何羣（包括無限羣比如(R,+)）都當作某個底層集合的排列羣，把所有羣都放在了同一個根基上。因此，對排列羣成立的定理對於一般羣也成立 ^[1]  。

Burnside將其歸功於Jordan，但是 Eric Nummela爭論説這個定理的名字“凱萊定理”事實上是合適的。凱萊在他最初介紹羣概念的1854年論文中證明了定理中的對應是一一對應，但是沒能明確的證明它是同態(因此是同構)。但是，Nummela提示大家注意凱萊讓當時的數學界知道了這個結果，因此比Jordan要提前了16年。

從初等羣論中，知道了對於任何G中元素g必然有g*G=G；並通過消除規則知道了g*x=g*y當且僅當x=y。所以左乘g充當了雙射函數fg:G→G，通過定義fg(x) =g*x。所以，fg是G的排列，並因此是Sym(G)的成員。

Sym(G)的子集K定義為

是同構於G的Sym(G)的子羣。得出這個結果的最快方式是考慮函數T:G→ Sym(G)對於所有G中的g有着T(g) =fg。(對Sym(G)中的複合使用"·")，T是羣同態因為：

同態T也是單射因為：T(g) = idG（Sym(G)的單位元）藴含了對於所有G中的x有g*x=x，選取x為G的單位元e產生g=g*e=e。可替代的，T(g)也是單射因為：g*x=g*x'藴含x=x'（通過左乘上g的逆元，因為G是羣所以一定存在）。

因此G同構於T的像，它是子羣K。T有時叫做G的正規表示。

另一個的證明

另一個證明使用了羣作用的語言。考慮羣

為G-集合，可以證明它有排列表示

。

首先假設

帶有

。則根據G-軌道分類這個羣作用是

（也叫做軌道-穩定集定理）。

現在這個表示是忠實的，如果

是單射，就是説，如果

的核是平凡的。假設

∈ ker

，則

，通過排列表示和羣作用的等價性。但是因為

∈ ker

,

並因此ker

是平凡的。則im

並因此利用第一同構定理得出結論。

單位元對應於恆等排列。所有其他的羣元素對應於不留下任何元素不變的排列。會因為這也適用於羣元素的冪，小於這個元素的階，每個元素對應於由相同長度的環構成的排列：這個長度是這個元素的階。在每個環中的元素形成了這個元素生成的子羣的左陪集。