ARMA模型

ARMA模型(auto regressive moving average model)自迴歸滑動平均模型，模型參量法高分辨率譜分析方法之一。這種方法是研究平穩隨機過程有理譜的典型方法，適用於很大一類實際問題。它比AR模型法與MA模型法有較精確的譜估計及較優良的譜分辨率性能，但其參數估算比較繁瑣。

ARMA模型參數估計的方法很多：

如果模型的輸入序列{u(n)}與輸出序列{a(n)}均能被測量時，則可以用最小二乘法估計其模型參數，這種估計是線性估計，模型參數能以足夠的精度估計出來；

許多譜估計中，僅能得到模型的輸出序列{x(n)}，這時，參數估計是非線性的，難以求得ARMA模型參數的準確估值。從理論上推出了一些ARMA模型參數的最佳估計方法，但它們存在計算量大和不能保證收斂的缺點。因此工程上提出次最佳方法，即分別估計AR和MA參數，而不像最佳參數估計中那樣同時估計AR和MA參數，從而使計算量大大減少。 ^[1] 

將預測指標隨時間推移而形成的數據序列看作是一個隨機序列，這組隨機變量所具有的依存關係體現着原始數據在時間上的延續性。一方面，影響因素的影響，另一方面，又有自身變動規律，假定影響因素為x1，x2，…，xk，由迴歸分析，

其中Y是預測對象的觀測值，Z為誤差。作為預測對象Yt受到自身變化的影響，其規律可由下式體現，

誤差項在不同時期具有依存關係，由下式表示，

由此，獲得ARMA模型表達式：

ARMA模型分為以下三種：

如果時間序列

滿足

其中

是獨立同分布的隨機變量序列，且滿足：

以及 E(

) = 0，則稱時間序列

為服從p階的自迴歸模型。

自迴歸模型的平穩條件：

滯後算子多項式

的根均在單位圓外，即φ(B) = 0的根大於1。

如果時間序列

滿足

則稱時間序列

為服從q階移動平均模型；移動平均模型平穩條件：任何條件下都平穩。

如果時間序列

滿足：

則稱時間序列

為服從(p,q)階自迴歸滑動平均混合模型。或者記為φ(B)

= θ(B)

。 ^[1] 

AR 模型(auto regressive model)自迴歸模型，模型參量法高分辨率譜分析方法之一，也是現代譜估計中常用的模型。

用AR模型法求信具體作法是：

①選擇AR模型，在輸入是衝激函數或白噪聲的情況下，使其輸出等於所研究的信號，至少，應是對該信號的一個好的近似。

②利用已知的自相關函數或數據求模型的參數。

③利用求出的模型參數估計該信號的功率譜。 ^[1] 

MA模型(moving average model)滑動平均模型，模型參量法譜分析方法之一，也是現代譜估中常用的模型。

用MA模型法求信號譜估計的具體作法是：①選擇MA模型，在輸入是衝激函數或白噪聲情況下，使其輸出等於所研究的信號，至少應是對該信號一個好的近似。②利用已知的自相關函數或數據求MA模型的參數。③利用求出的模型參數估計該信號的功率譜。

在ARMA參數譜估計中，大多數估計ARMA參數的兩步方法都首先估計AR參數，然後在這些AR參數基礎上，再估計MA參數，然後可求出ARMA參數的譜估計。所以MA模型參數估計常作為ARMA參數譜估計的過程來計算。 ^[1] 

綜上所述可以看出，AR模型和MA模型均為ARMA模型的特殊形式，三者皆可以用於處理分離正弦信號頻率，多應用於機械零件比如齒輪、軸承故障診斷和分析。 ^[1]