龐加萊不等式

龐加萊不等式(Poincare inequality)是關於函數與其梯度的L^p範數的不等式，龐加萊不等式主要描述的是函數的廣義導數的範數值對該函數本身的範數值的限制關係。

龐加萊不等式也是拉普拉斯特徵值的一個不等式，即關於最小非零的拉普拉斯特徵值的極大-極小原理，在整體分析和偏微分方程中有重要應用。

設

含於一個寬度為h的條形區域內，

， 則下列龐加萊不等式成立：

而不等式：

亦稱為龐加萊不等式。若集合N={x∈Ω|u(x)=0}的

中的測度|N|>0，則： ^[2] 

設

，Ω是具有Lipschitz邊界的n維歐幾里德空間Rn的有界連接的開放子集（即Ω是Lipschitz域）。 那麼存在一個常數C，其值只取決於Ω和p，使得對於Sobolev空間W1，p（Ω）中的每個函數u，都有：

其中：

是

在

上的平均值，

表示區域

上的勒貝格測度。當

是球區域時，上述不等式叫做a(p,p)-龐加萊不等式。對更為普通的

區域，上述不等式更為人熟知的名字是索伯列夫不等式。 ^[3] 

龐加萊不等式中的最優常數C有時被稱為域Ω的龐加萊常數。一般來説，確定龐加萊常數是一個非常艱鉅的任務，取決於p的值和域Ω的幾何形狀。但是，某些特殊情況是易處理的。例如，如果Ω是具有直徑d的有界，凸的Lipschitz域，則對於p = 1，龐加萊常數最多為d / 2，d / π（Acosta&Durán2004； Payne&Weinberger 1960），這是對龐加萊常數在單直徑方面的最佳估計。對平滑的函數來説，這可以被理解為對函數的級集合的等效不等式的應用。 在一個維度上，這是Wirtinger對函數的不等式。

然而，在某些特殊情況下，可以具體確定常數C。例如，對於p = 2，眾所周知，在單位等腰直角三角形的域上，C = 1 /π（<d /π其中d = 根號2）。

此外，對於平滑有界的域Ω，由於在空間W_ {0} ^ {1,2}（Ω）中的拉普拉斯算子的瑞利商通過與（負）拉普拉斯算子的最小特徵值λ1相對應的特徵函數來最小化Ω，這是一個簡單的結果，對任意

，都有：

此外，常數λ1是最優的。 ^[3]