點陣

為集中反映晶體結構的週期性而引入的一個概念。首先考慮一張二維週期性結構的圖像。可在圖《點陣》上任選一點O作為原點。在圖上就可以找到一系列與O點環境完全相同的點子,這一組無限多的點子就構成了點陣。將圖像作一平移,對應於從原點O移至任意陣點的位置，圖像仍然不變。這種不變性表明點陣反映了原結構的平移對稱性。上述的考慮顯然可以推廣到具有三維週期性結構的無限大晶體。應該指出，原點位置可以任意選，但得到的點陣卻是等同的。點陣平移矢量L總可以選用三個非共面的基矢A₁、A₂及A₃的組合來表示：L=mA₁+nA₂+pA₃，這裏的m、n、p為三個整數。A₁、A₂與A₃所構成的平行六面體，稱為晶胞或初級晶胞，它包含了晶體結構的基本重複單元。值得注意，基矢與晶胞的選擇都不是唯一的，存在無限多種選擇方案。一個初基晶胞是晶體結構的最小單元。但是有時為了能更充分地反映出點陣的對稱性，也可選用稍大一些的非初基晶胞（即晶胞中包含一個以上的陣點）。

一個點陣可以還原為一系列平行的陣點行列（簡稱陣列），或一系列的平行的陣點平面（簡稱陣面）。可用由一組基矢所確定的座標系來描述某一組特定的陣列或陣面族的取向。我們選取通過原點的陣列上任意陣點的三個座標分量，約化為互質的整數u、v、w作為陣列方向的指標，可用符號【uvw】來表示。為了標誌某一特定陣面族的方向，可選擇最靠近但不通過原點的陣面，讀取它在三個座標軸上截距的倒數，將這三個數約化為互質的數h、k、l就得該陣面旋的方向指標,可用符號(hkl)來表示。這就是陣面族的密勒指數。

19世紀出現了布喇菲（A．Bravais）的空間點陣學説，這一學説能解釋有理指數定律和晶面角守恆定律，但它只是合理的猜想，其正確性到1912年才被勞厄（Laue，Max Theodor Felix yon）等人的x射線衍射實驗證實。幾十年來的研究已探明瞭成千上萬的晶體結構，肯定了晶體的週期性。 ^[2] 

晶體中原子或原子團在三維空間有規律的週期排列構成了晶體結構。為了研究方便，人們忽略了那些種類繁多的原子和原子團，而把晶體看成是一些幾何點在空間有規律的週期排列，同時，這些點與實際晶體中的原子又具有某種固定的空間位置關係。

設想在空間有一組平行的等距離平面，與另外一組等距離平面相交，然後，它們又與第三組等距離的平行平面相交。結果，兩兩面相交的交線便構成了空間分佈的格子，而交線的相交點便是空間分佈的點，這些空間週期分佈的點構成空間點陣。其中每個陣點的周圍環境都相同，這就是説，每個陣點周圍的陣點數以及各陣點相對參考點的取向相同。

點陣中的平行六面體稱為陣胞。實際上，有許多種方式取平行六面體作為陣胞。描述陣胞的形狀和大小採用3個矢量，即若以陣胞某角點為原點，沿3個稜邊作3個矢量；通常面對我們的為a，向右為b，向上為c。它們之間的夾角分別為α，β和γ，稱a、b、c和α，β和γ為陣胞的點陣參數。陣胞是點陣的基本單元，借陣胞的無限平移可以得到整個點陣。 ^[3] 

空間點陣的類型可以用皮爾遜（Pearson）符號表示，該符號中第一個為小寫字母，代表所屬晶系；第二個為大寫字母，代表點陣類型。注意菱方晶系的晶胞是簡單晶胞，但卻用R作為其點陣類型符號。

在固體物理學中，一般選取空間點陣中體積最小的平行六面體作為單胞，這樣的單胞只能反映其空間點陣的週期性，但不能反映其對稱性。如面心立方點陣的固體物理單胞並不反映面心立方的特徵。

由於固體物理單胞只能反映晶體結構的週期性，不能反映其對稱性，所以在晶體學中，規定了選取單胞要滿足以下幾點原則：

①要能充分反映整個空間點陣的週期性和對稱性；

②在滿足①的基礎上，單胞要具有儘可能多的直角；

③在滿足①、②的基礎上，所選取單胞的體積要最小。

根據以上原則，所選出的14種布拉菲點陣的單胞可以分為兩大類。一類為簡單單胞，即只在平行六面體的8個頂點上有結點，而每個頂點處的結點又分屬於8個相鄰單胞，故一個簡單單胞只含有一個結點。另一類為複合單胞（或稱複雜單胞），除在平行六面體頂點位置含有結點之外，尚在體心、面心、底心等位置上存在結點，整個單胞含有一個以上的結點。14種布拉菲點陣中包括7個簡單單胞，7個複合單胞。

根據單胞所反映出的對稱性，可以選定合適的座標系，一般以單胞中某一頂點為座標原點，相交於原點的三個稜邊為X、Y、Z三個座標軸，定義X、Y軸之間夾角為 γ，Y、Z之間夾角為α，Z、X軸之間夾角為β，如圖《點陣》所示。單胞的三個稜邊長度a、b、c和它們之間夾角α、β、γ稱為點陣常數或晶格參數。六個點陣常數，或者説三個點陣矢量a、b、c描述了單胞的形狀和大小，且確定了這些矢量的平移而形成的整個點陣。也就是説空間點陣中的任何一個陣點都可以借矢量a、b、c由位於座標原點的陣點進行重複平移而產生。每種點陣所含的平移矢量為：

簡單點陣：a、b、c；

底心點陣：a、b、c、（a + b）/2；

體心點陣：a、b、c、（a + b + c）/2；

面心點陣：a、b、c、（a + b）/2、（b + c）/2、（a + c）/2；

所以布拉菲點陣也稱為平移點陣。

點陣字體是把每一個字符都分成16×16或24×24個點，然後用每個點的虛實來表示字符的輪廓。點陣字體優點是顯示速度快，不像矢量字體需要計算；其最大的缺點是不能放大，一旦放大後就會發現文字邊緣的鋸齒。

點陣字體也叫位圖字體，其中每個字形都以一組二維像素信息表示。這種文字顯示方式於較早前的電腦系統（例如未有圖形接口時的 DOS 操作系統）被普遍採用。由於位圖的緣故，點陣字體很難進行縮放，特定的點陣字體只能清晰地顯示在相應的字號下，否則文字只被強行放大而失真字形，產生成馬賽克式的鋸齒邊緣。但對於字號 8-14px 的尺寸較小的漢字字體（即現今操作系統大多采用的默認字號）現今亦仍然被使用於熒幕顯示上，能夠提供更高的顯示效果；不過現今該種點陣字體主要只作為“輔助”的部分，當使用者設定的字體尺寸並沒有擁有位圖像時，字體便會以向量圖象方式顯示；而當打印時，印有字體無論大小亦會使用向量字型打印。如圖1所示。

這要先了解點陣字庫與矢量字庫：

點陣字庫常用來作為顯示字庫使用，這類點陣字庫漢字最大的缺點是

不能放大，一旦放大後就會發現文字邊緣的鋸齒。

矢量字庫保存的是對每一個漢字的描述信息，比如一個筆劃的起始、終止座標，半徑、弧度等等。在顯示、打印這一類字庫時，要經過一系列的數學運算才能輸出結果，但是這一類字庫保存的漢字理論上可以被無限地放大，筆劃輪廓仍然能保持圓滑，打印時使用的字庫均為此類字庫。Windows使用的字庫也為以上兩類，在FONTS目錄下，如果字體擴展名為FON，表示該文件為點陣字庫，擴展名為TTF則表示矢量字庫。