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點態收斂拓撲

鎖定
點態收斂拓撲(pointwise convergence topology)亦稱點開拓撲，是一種常用的拓撲結構。設X是一個非空集合，Y是拓撲空間，X到Y的所有映射構成的集合F(X，Y)可表示為笛氏積∏x∈XYx，其中Yx=Y，這是因為每一f:X→Y可表示為(f(x)|x∈X)，函數空間F(X，Y)上的積拓撲稱為點態收斂拓撲。在這拓撲下，F(X，Y)中序列{fn}收斂於 f 的充要條件為對每個x∈X，點列{fn(x))收斂於f(x)。 [1] 
中文名
點態收斂拓撲
外文名
pointwise convergencetopology、topology of pointwise convergence
別    名
點開拓撲
所屬領域
拓撲學
相關概念
開集、拓撲、子基等

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 相關知識

點態收斂拓撲定義

定義1 給定集合X的一個點
以及空間
的一個開集
，令
所有集合
構成
的拓撲的一個子基，這個拓撲稱為點態收斂拓撲(topology of pointwise convergence)或點開拓撲(point-open topology)。 [2] 
這個拓撲的一般基元素是子基元素
的有限交，因此，包含函數
的一個典型的基元素就是由所有在有限多點處“接近”
的函數
組成，這樣的鄰域如圖1所示，它由所有函數圖像與所給三個垂直區間都相交的函數構成。
圖1 圖1
上的點態收斂拓撲就是積拓撲，如果我們用J代替X，將J的一般元素記為
，這樣看起來就更加熟悉了，這時，使得
的所有函數
構成的集合
恰好就是
的子集
而它也正好就是積拓撲的標準子基元素。 [3] 

點態收斂拓撲相關知識

稱其為點態收斂拓撲的理由緣於以下定理：
定理1 在點態收斂拓撲下，函數序列
收斂於函數
， 當且僅當對於每一個點
中點的序列
收斂於點
。 [3] 
證明： 這是積拓撲中一個一般性的事實，在這裏我們使用函數記號來證明它，假定
在點態收斂拓撲之下收斂，給定
及含有
的開集
，集合
是
的一個鄰域，因此存在整數N，使得對於所有的
，有
於是對於所有的
，
。
反之，設對每個
收斂子
，要證明在點態收斂拓撲之下
收斂於
，只要證明如果
是包含
的任意一個子基元素，則對於充分大的n，
包含所有的
就足夠了(為什麼?)。但是因為
收斂於
，並且
，所以必存在一個整數N，使得對於
有
，於是對於
，
。 [2] 
例1 考慮空間RI，其中
定義為
的連續函數序列(
)在點態收斂拓撲下收斂於函數
，其中
的定義為
這個例子説明，在點態收斂拓撲下，連續函數的子空間
不是RI中的閉集。
我們知道，若一個連續函數序列(
)在一致拓撲下收斂，則極限必定是連續的，然而上面這個例子説明，一個序列僅在點態收斂拓撲下收斂，卻未必有連續的極限，人們可能要問，是否存在某一個拓撲介於這兩個拓撲之間，仍能保證連續函數的收斂序列有連續的極限呢?答案是肯定的，只要對空間X加一點限制，而且這個限制還相當寬泛，即要求X是緊緻生成的，如果在以下定義的緊緻收斂拓撲下，(
)收斂於
，就足以保證
是連續的了。
定義2 設
是一個度量空間，X是一個拓撲空間，給定
的一個元素
，X的一個緊緻子空間C以及一個數
令
表示
中所有滿足下式的元素
構成的集合：
這些集合
組成了
的一個拓撲基，我們稱這個拓撲為緊緻收斂拓撲(topology ofcompact convergence)(有時也稱它為“緊緻集合上的一致收斂拓撲”)。
易見這些集合
滿足作為基的條件，最關鍵的一步是注意，若
，則對
有
。 [3] 
參考資料
  • 1.    谷超豪．數學詞典：上海辭書出版社，1992年08月第1版
  • 2.    J.R.曼克勤斯著，羅嵩齡，許依羣等譯．拓撲學基本教程：科學出版社，1987年08月第1版
  • 3.    （美）JAMES R.MUNKRES著，熊金城，呂傑，譚楓譯．,拓撲學 （原書第2版）：機械工業出版社，2006年04月第1版