黎曼－斯蒂爾傑斯積分

和黎曼積分一樣，黎曼－斯蒂爾傑斯積分的定義依賴對區間分割的定義。 ^[1] 

一個閉區間[a,b]的一個分割P是指在此區間中取一個有限的點列

。每個閉區間

叫做一個子區間。定義

為這些子區間長度的最大值：

，其中

。

再定義取樣分割。一個閉區間[a,b]的一個取樣分割是指在進行分割

後，於每一個子區間中

取出一點

。

的定義同上。

精細化分割：設

構成了閉區間[a,b]的一個取樣分割，

是另一個分割。如果對於任意

，都存在r(i)使得

，並存在

使得

，那麼就把分割：

稱作分割

的一個精細化分割。

於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係，稱作“精細”。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割，就説前者比後者更“精細”。

對一個在閉區間[a,b]有定義的實值函數f，g關於取樣分割

的黎曼－斯蒂爾傑斯和定義為以下和式：

和式中的

表示

，故

。

當注意的是。這兩個定義在黎曼－斯蒂爾傑斯積分的情況下，並不完全等價，以第一種定義可推出其存在的積分，必能以第二種定義推出其存在，但以第二種定義方式可推出其存在的積分不一定能以第一種定義的方式來計算。

A是函數f在閉區間 [a,b]上對函數g的黎曼－斯蒂爾傑斯積分，當且僅當對於任意的

，都存在

，使得對於任意的取樣分割

，只要它的子區間長度最大值

，就有：

A是函數f在閉區間 [a,b]上對函數g的黎曼－斯蒂爾傑斯積分，當且僅當對於任意的

，都存在一個取樣分割

，使得對於任何比其“精細”的分割

，都有：

若一個函數 f在閉區間 [a,b]上對函數g的黎曼－斯蒂爾傑斯積分存在，且值為A，則可寫作

。

若g(x) = x時，f在閉區間[a,b]上對函數g的黎曼－斯蒂爾傑斯積分

。即為f在閉區間 [a,b]上的黎曼積分

，故從黎曼－斯蒂爾傑斯積分可引出黎曼積分。