頻域特性

對任何一個事物的描述都需要從多個方面進行，每一方面的描述僅為我們認識這個事物提供部分的信息。例如，眼前有一輛汽車，我可以這樣描述它方面1：顏色，長度，高度。方面2：排量，品牌，價格。而對於一個信號來説，它也有很多方面的特性。如信號強度隨時間的變化規律（時域特性），信號是由哪些單一頻率的信號合成的（頻域特性）

頻域（頻率域）——自變量是頻率,即橫軸是頻率,縱軸是該頻率信號的幅度,也就是通常説的頻譜圖。頻譜圖描述了信號的頻率結構及頻率與該頻率信號幅度的關係。

對信號進行時域分析時，有時一些信號的時域參數相同，但並不能説明信號就完全相同。因為信號不僅隨時間變化，還與頻率、相位等信息有關，這就需要進一步分析信號的頻率結構，並在頻率域中對信號進行描述。動態信號從時間域變換到頻率域主要通過傅立葉級數和傅立葉變換實現。週期信號靠傅立葉級數，非週期信號靠傅立葉變換。

一個頻域分析的簡例可以通過圖1：一個簡單線性過程中小孩的玩具來加以説明。該線性系統包含一個用手柄安裝的彈簧來懸掛的重物。小孩通過上下移動手柄來控制重物的位置。

任何玩過這種遊戲的人都知道，如果或多或少以一種正弦波的方式來移動手柄，那麼，重物也會以相同的頻率開始振盪，儘管此時重物的振盪與手柄的移動並不同步。只有在彈簧無法充分伸長的情況下，重物與彈簧會同步運動且以相對較低的頻率動作。

隨着頻率愈來愈高，重物振盪的相位可能更加超前於手柄的相位，也可能更加滯後。在過程對象的固有頻率點上，重物振盪的高度將達到最高。過程對象的固有頻率是由重物的質量及彈簧的強度係數來決定的。

當輸入頻率越來越大於過程對象的固有頻率時，重物振盪的幅度將趨於減少，相位將更加滯後（換言之，重物振盪的幅度將越來越少，而其相位滯後將越來越大）。在極高頻的情況下，重物僅僅輕微移動，而與手柄的運動方向恰恰相反。

所有的線性過程對象都表現出類似的特性。這些過程對象均將正弦波的輸入轉換為同頻率的正弦波的輸出，不同的是，輸出與輸入的振幅和相位有所改變。振幅和相位的變化量的大小取決於過程對象的相位滯後與增益大小。增益可以定義為“經由過程對象放大後，輸出正弦波振幅與輸入正弦波振幅之間的比例係數”，而相位滯後可以定義為“輸出正弦波與輸入正弦波相比較，輸出信號滯後的度數”。

與穩態增益K值不同的是，“過程對象的增益和相位滯後”將依據於輸入正弦波信號的頻率而改變。在上例中，彈簧－重物對象不會大幅度的改變低頻正弦波輸入信號的振幅。這就是説，該對象僅有一個低頻增益係數。當信號頻率靠近過程對象的固有頻率時，由於其輸出信號的振幅要大於輸入信號的振幅，因此，其增益係數要大於上述低頻下的係數。而當上例中的玩具被快速搖動時，由於重物幾乎無法起振，因此該過程對象的高頻增益可以認為是零。

過程對象的相位滯後是一個例外的因素。由於當手柄移動得非常慢時，重物與手柄同步振盪，所以，在以上的例子中，相位滯後從接近於零的低頻段輸入信號就開始了。在高頻輸入信號時，相位滯後為“-180度”，也就是重物與手柄以相反的方向運動（因此，我們常常用‘滯後180度’來描述這類兩者反向運動的狀況）。

Bode圖譜表現出彈簧－重物對象在0.01-100弧度/秒的頻率範圍內，系統增益與相位滯後的完整頻譜圖。這是Bode圖譜的一個例子，該圖譜是由貝爾實驗室的Hendrick Bode於1940s年代發明的一種圖形化的分析工具。利用該工具可以判斷出，當以某一特定頻率的正弦波輸入信號來驅動過程對象時，其對應的輸出信號的振動幅度和相位。欲獲取輸出信號的振幅，僅僅需要將輸入信號的振幅乘以“Bode圖中該頻率對應的增益係數”。欲獲取輸出信號的相位，僅僅需要將輸入信號的相位加上“Bode圖中該頻率對應的相位滯後值”。

在過程對象的Bode圖中表現出來的增益係數和相位滯後值，反映了系統的非常確定的特徵，對於一個有豐富經驗的控制工程師而言，該圖譜將其需要知道的、有關過程對象的一切特性都準確無誤的告訴了他。由此，控制工程師運用此工具，不僅可以預測“系統未來對於正弦波的控制作用所產生的系統響應”，而且能夠知道“系統對任何控制作用所產生的系統響應”。

傅立葉定理使得以上的分析成為可能，該定理表明任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。數學家傅立葉在1822年證明了這個著名的定理，並創造了為大家熟知的、被稱之為傅立葉變換的算法，該算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。

從理論上説，傅立葉變換和Bode圖可以結合在一起使用，用以預測當線性過程對象受到控制作用的時序影響時產生的反應。詳見以下：

（1） 利用傅立葉變換這一數學方法，把提供給過程對象的控制作用，從理論上分解為不同的正弦波的信號組成或者頻譜。

（2） 利用Bode圖可以判斷出，每種正弦波信號在經由過程對象時發生了那些變化。換言之，在該圖上可以找到正弦波在每種頻率下的振幅和相位的改變。

（3） 反之，利用反傅立葉變換這一方法，又可以將每個單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。

既然反傅立葉變換從本質上説，也是一種累加處理，那麼過程對象的線性特徵將會確保－“在第一步中計算得到的各種理論正弦波”所產生單獨作用的集合，應該等效於“各不同正弦波的累加集合”共同產生的作用。因此，在第三步計算得到的總信號，將可以代表“當所提供的控制作用輸入到過程對象時，過程對象的實際值”。

請注意，在以上這些步驟中，沒有哪個點不是由畫在圖上的控制器產生的單獨正弦波構成。所有這些頻域方面的分析技術都是概念性的。這是一種方便的數學方法，運用傅立葉變換（或者緊密相關的拉普拉斯變換），將時域信號轉換為頻域信號，然後再用Bode圖或其他一些頻域分析工具來解決手頭的一些問題，最後再用反傅立葉變換將頻域信號轉換為時域信號。

絕大多數可用此方法解決的控制設計問題，也可以在時域內通過直接的操控來解決，但是對於計算而言，利用頻域的方法通常更簡單一些。在上例中，就是用乘法和減法來計算過程實際值的頻譜，而該過程實際值是通過對給定的控制作用進行傅立葉變換，爾後又對照Bode圖分析而得到的。

將所有的正弦波進行正確的累加，就會產生如傅立葉變換所預示的那類形狀的信號。當有時這一現象並不直觀，舉個例子可能有助於理解。

請再次想想上面那個例子中小孩的重物－彈簧玩具，操場上的蹺蹺板，以及位於外部海洋上的船。設想這艘船以頻率為w和幅度為A的正弦波形式在海面上起起落落，我們同時再假設蹺蹺板也以頻率為3w和幅度為A/3的正弦波形式在振盪，並且小孩以頻率為5w和幅度為A/5的正弦波形式在搖動玩具。‘三張單獨的正弦波波形圖’已經顯示出，如果我們將三個不同的正弦波運動進行分別觀察的話，每個正弦波運動將會體現出的形式。

假設小孩坐在蹺蹺板上，而蹺蹺板又依次固定在輪船的甲板上。如果這三者單獨的正弦波運動又恰巧排列正確的話，那麼，玩具所表現出的總體運動就大約是一個方波－三者合成的正弦波顯示的那樣。

以上並非一個非常確切的實際例子，但是卻明白無誤的説明：基本頻率正弦波、振幅為三分之一的三倍頻率諧波、以及振幅為五分之一的五倍頻率諧波，它們波形的相加總和大約等於頻率為w、振幅為A的方波。甚至如果再加上振幅為七分之一的七倍頻率諧波、以及振幅為九分之一的九倍頻率諧波時，總波形會更像方波。其實，傅立葉定理早已説明，當不同頻率的正弦波以無窮級數的方式無限累加時，那麼由此產生的總疊加信號就是一個嚴格意義上的、幅度為A的方波。傅立葉定理也可以用來將非週期信號分解成正弦波信號的無限疊加。

通過求解微分方程分析時域性能是十分有用的，但對於比較複雜的系統這種辦法就比較麻煩。因為微分方程的求解計算工作量將隨着微分方程階數的增加而增大。另外，當方程已經求解而系統的響應不能滿足技術要求時，也不容易確定應該如何調整系統來獲得預期結果。從工程角度來看，希望找出一種方法，使之不必求解微分方程就可以預示出系統的性能。同時，又能指出如何調整系統性能技術指標。頻域分析法具有上述特點,是研究控制系統的一種經典方法,是在頻域內應用圖解分析法評價系統性能的一種工程方法。該方法是以輸入信號的頻率為變量，對系統的性能在頻率域內進行研究的一種方法。頻率特性可以由微分方程或傳遞函數求得,還可以用實驗方法測定.頻域分析法不必直接求解系統的微分方程,而是間接地揭示系統的時域性能,它能方便的顯示出系統參數對系統性能的影響,並可以進一步指明如何設計校正.這種分析法有利於系統設計，能夠估計到影響系統性能的頻率範圍。特別地，當系統中存在難以用數學模型描述的某些元部件時，可用實驗方法求出系統的頻率特性，從而對系統和元件進行準確而有效的分析。

是採用傅立葉變換將時域信號x(t)變換為頻域信號X(f)，從而幫助人們從另一個角度來了解信號的特徵。信號頻譜X(f)代表了信號在不同頻率分量成分的大小，能夠提供比時域信號波形更直觀，豐富的信息.

? 1822年，法國數學家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導理論時發表了“熱的分析理論”，提出並證明了將週期函數展開為正弦級數的原理，奠定了傅里葉級數的理論基礎。

? 泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應用到電學中去，得到廣泛應用。

? 19世紀末，人們製造出用於工程實際的電容器。

? 進入20世紀以後，諧振電路、濾波器、正弦振盪器等一系列具體問題的解決為正弦函數與傅里葉分析的進一步應用開闢了廣闊的前景。

? 在通信與控制系統的理論研究和工程實際應用中，傅里葉變換法具有很多的優點。

? “FFT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。

頻域分析是以輸入信號的頻率為變量，在頻率域，研究系統的結構參數與性能的關係, 揭示了信號內在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關係，從而導出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調製和頻分複用等重要概念。

頻域分析具有明顯的優點:無需求解微分方程，圖解(頻率特性圖)法,間接揭示系統性能並指明改進性能的方向和易於實驗分析.可推廣應用於某些非線性系統（如含有延遲環節的系統）以及可方便設計出能有效抑制噪聲的系統。

1.頻率響應,它指系統對正弦輸入信號的穩態響應。

2.頻率特性,它指系統在不同頻率的正弦信號輸入時，其穩態輸出隨頻率而變化(ω由0變到∞)的特性。

3.幅頻特性與相頻特性一起構成系統的頻率特性。

4.幅頻特性,它指的是當ω由0到∞變化時，|G(jω)|的變化特性，記為A(ω)。

5.相頻特性, 它指的是當ω由0到∞變化時，∠G(jω)的變化特性稱為相頻特性，記為ϕ(ω)。

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