非線性電路

非線性元器件在電工中得到廣泛應用。例如避雷器的非線性特性表現在高電壓下電阻值變小，這性質被用來保護雷電下的電工設備；鐵心線圈的非線性由磁場的磁飽和引起，這性質被用來製造直流電流互感器。非線性電路的研究和其他學科的非線性問題的研究相互促進。20世紀20年代，荷蘭人B.範德坡爾描述電子管振盪電路的方程成為研究混沌的先聲。非線性元件電路是指由非線性元件構成的電路,如線圈,電容等夠成的LR,CR,LC,LCR電路等,這些可構成微分電路或積分電路,這就是非線性電路。

非線性電路是產生複雜動力學行為的基本電路,混沌運動是其中一種非常複雜的非線性運動形式,它是一種介於有序與無序之間、確定性與隨機性共存的特殊形式的運動。 ^[1] 

電路中的元器件在本質上是非線性的，由非線性的電路構成或者實現的系統也是非線性的，所以非線性已成為電路與系統中重要的研究課題。電子電路中的非線性問題，可以藉助物理學來解決；物理學中的非線性主要表現為相干性和禍合作用，也可利用電子電路來仿真。 ^[2]  非線性電路理論是非線性科學研究的重要分支之一。隨着科學技術的進步，電子技術得到迅猛發展，新的電子器件不斷出現。高度非線性電子器件的廣泛應用，使得電子電路中出現了大量的非線性現象，如次諧波振盪、週期跳躍、概週期運動、分岔以及混沌等。 ^[3] 

用刀開關斷開直流電路時，由於電弧的非線性使這時的電路出現由不同起始條件決定的兩個穩態——一個有電弧，因而電路中有電流；另一個電弧熄滅，因而電路中無電流。

線性電路通常只有一個穩態。但有些非線性電路的穩態可以不止一個。例如，用刀開關斷開某個直流電路，當開關的刀和固定觸頭之間的距離不夠大（例如距離為d）時,刀與觸頭之間可以出現穩定的電弧，電路中有電流，這是電路的一個穩態；增加上述距離使電弧熄滅後,再使此距離減少到d,卻見不到電弧,電路中沒有電流，這是另一個穩態。電弧的非線性特性使這個電路有兩個穩態。電路處於何種穩態由起始條件決定。

在有些非線性電路里，獨立電源雖然是直流電源，電路的穩態電壓（或電流）卻可以有周期變化的分量，電路里出現了自激振盪。音頻信號發生器的自激振盪電路中因有放大器這一非線性元件，可產生其波形接近正弦的週期振盪。

在含有直流獨立電源的線性電路中，穩態下的電壓、電流是不隨時間變化的直流電壓、直流電流。但在有些非線性電路里，獨立電源雖然是直流電源，電路的穩態電壓(或電流)卻可以有周期變化的分量，電路里出現了自激振盪。例如，音頻信號發生器的自激振盪電路中因有放大器這一非線性元件而成為非線性電路。這個電路可以產生其波形接近正弦的週期振盪。自激振盪可以分為兩種。軟激勵：電路接通後就能激起振盪。硬激勵：電路接通後，一般不能激起振盪，電路處於直流穩態。必須另外加一個幅度較大、作用時間很短的激勵，電路里才會激起振盪。在這樣的電路中便有兩個穩態：一個是直流穩態，一個是含週期振盪的穩態。

正弦激勵作用於非線性電路且電路有周期響應時，響應的波形一般為非正弦的，含有高次諧波分量或次諧波分量。例如，整流電路中的電流常會有高次諧波分量。也可以有頻率低於激勵頻率的次諧波分量。整流電路中的電流常會有高次諧波分量。將鐵心線圈和合適的電容器串聯接到正弦電壓源上，構成鐵磁諧振電路，其中的電流可含有頻率是電源頻率1/3的次諧波分量，稱1/3次諧波。

非線性電路中，參數（電阻、電感、振幅、頻率等）改變到分岔值時響應會突變，出現跳躍現象。鐵磁諧振電路中就會發生電流跳躍現象。電路的響應與電路的各種參數有關。電阻、電感、正弦電源的振幅和頻率都是參數。當某個參數有微小變化時，響應一般也有微小變化。但在非線性電路里，當參數改變到分岔值時，響應會突變，出現跳躍現象。考慮一個有合適電容值的鐵磁諧振電路，以正弦電壓源的有效值U 作為控制參數。平滑地、緩慢地改變U 時,電流有效值I一般隨之平滑地變化，圖1中兩條實線表示這種變化，箭頭代表變化方向。當電壓U由0增加時，電流按曲線①變化。當U 達到分岔值U2時,電流會突然增加,以後電流沿曲線②變化。當U由大於U2的值減少到分岔值U1時,電流會突然減少。電流跳躍性變化用圖1中虛線表示。平滑地改變電源的頻率，也可以看到類似的現象。

正弦激勵作用於自激振盪電路時，若激勵頻率與自激振盪頻率二者相差很小，響應會與激勵同步。正弦激勵作用於自激振盪電路時，看來有兩種頻率的振盪在電路里起作用，一個是激勵的頻率，一個是自激振盪頻率。但當二者相差很小時，電路里只存在頻率為激勵頻率的振盪：響應與激勵同步。這種現象稱為頻率捕捉。

20世紀20年代 ，荷蘭人B.範德坡爾描述電子管振盪電路的方程，成為研究混沌現象的先聲。

非線性電路可以出現的一種穩態響應波形，看似無規律可循，類似隨機輸出。它的頻譜中有連續頻譜成分。響應對起始條件極為敏感。在兩組相差極微小的起始條件下，經過較長的時間以後兩個響應的波形差別很大。這種穩態響應是一種混沌現象。在三階（或三階以上）自治電路和二階（或二階以上）非自治電路里可以出現混沌。低階電路的混沌常作為理論研究對象。