非標準全域

非標準全域是標準全域的非標準模型，它是另一個超結構的子集。

設U=V(S)是一個以S為個體集的標準全域，I為指標集（I可取自然數集或更大的集合），𝒰為I 上的一個自由超濾子，

是I到S的一切函數（I-序列）之集，即

，其中{a_i}表示I到S的一個函數

在

上定義等價關係：

，當且僅當

∈𝒰，這個等價關係簡單地寫成

，a.e。令*

，以*S為個體集的超結構記為V(*S)。

標準全域U=V(S)的非標準全域*U=*V(S)是V(*S)的一個子集，它的元素按如下方式歸納地選自V(*S)。

設{A_i}是V(S)中元素的一個I序列，若存在一個p∈N，使得

，則稱序列{A_i}是有界的。若序列{A_i}是有界的，則存在一個最小的j∈N，使得

𝒰，這個j稱為序列{A_i}的秩。對於每個有界序列{A_i}，可以按秩歸納地選取一個元素A∈V(*S)，並記A= <A_i>：若{A_i}的秩為0，令A=<A_i>，即*S中的一個元素。

假設對於秩小於j的每個序列{B_i}已經定義了對應的元素<B_i>，並且{A_i}的秩為j，則定義

的秩小於j，並且

這樣就完成了非標準全域*U=*V(S)的定義。*V(S)中的元素稱為內的，V(*S)\*V(S)中的元素稱為外的。由上述定義，*S中的元素都是內的，因而沒有外的個體。上述構造非標準全域的方法稱為超冪構造。

非標準全域也可用公理方法建立如下。設V(S)和V(*S)分別是以S和*S為個體集的兩個超結構，嵌入映射*:V(S) →V(*S)滿足如下兩條公理：

擴張原理。*S是S的真擴張，即

，並且對於每個a∈S，有*a=a；

轉換原理。標準全域的語言L(V(S))中的句子φ在V(S)中為真，當且僅當它的*-轉換*φ在V(*S)中為真。*φ是把φ中出現的常元符號a全部換成它的*-像的符號*a得到的句子。若A∈V(S)\S，則*A 稱為標準集合，V(* S)中的元素是內的，當且僅當它是某個標準集合的元素。所有內的元素構成的集合記為*V(S)，它就是標準全域V(S)對應的非標準全域。 ^[1]