非標準模型

假定

是一個

數學結構，所有在

中成真的語句

的集合稱作

的完全理論，記作

。它是在語言

中的一個理論。顯然

是它的一個模型。而它的與

不同結構的模型則稱作

的非標準模型。

最有名的非標準模型是佩亞諾算術（Peano arithmetic）的非標準模型。佩亞諾算術的理論是自然數集

的理論。這裏 +，·就是通常的自然數的加法和乘法，S 是後繼函數，0 為通常的整數 0。

是佩亞諾算術的標準模型，而與

不同構的佩亞諾算術的模型即為它的非標準模型。 ^[1] 

[model]

一個模型

就是一個

數學結構。假如

是

公式。如果存在

使得

在

中為真，記作

，就稱

是

的一個模型。如果

為一理論（語句的集合），而對一切

，都有

，則稱

是

的一個模型，記作

。

非標準模型雖然不是人們所期望的，但是它們有時卻有着非常重要的應用。開發理論的非標準模型以求得對自然模型（即人們所真正關心的模型）的性質的瞭解或對理論本身性質的瞭解的學問被J.L.貝爾和M.麥克弗稱作“非標準分析”。

① C.賴爾-納爾德澤夫斯基在1952年利用上述皮亞諾算術理論PA的非標準模型證明了PA不可有窮公理化，亦即PA中的數學歸納公理模式不能用有限條特例代替。

② A. 魯賓孫在1961年前後利用上述非標準分析方法開發完全理論Th(R)的非標準模型,為古典數學分析中的“無窮小量”和“無窮大量”方法提供了堅固和嚴格的基礎，甚至形成了一門新興的學科，稱為“非標準分析”，更確切地説應做“非標準數學分析”。

③近年來不少邏輯工作者用算術的非標準模型來給出數學命題的獨立性（即形式不可判定性）證明，其中最著名的是J.帕里斯和L.哈林頓。他們利用皮亞諾算術的非標準模型證明了，圖論中的一個命題也就是拉姆齊定理的一個加強形式在皮亞諾算術中是形式不可判定的，因而給出了哥德爾在1931年得到的著名的不完備性定理的一個語義證明(哥德爾本人給出的證明是語法的)。此外，與哥德爾給出的人為的不可判定命題相比，帕里斯和哈林頓所得的不可判定命題是有着深刻數學意義的命題。