非完整系統

在古典力學裏，假如，一個系統有任何約束是非完整約束，則稱此係統為非完整系統。非完整約束不是完整約束。完整約束可以用方程式表示為

這裏，f是每一個粒子

之位置和時間的函數。非完整約束不能夠用上述方程式表示。

完整約束方程式與位置、時間有關，與速度無關。完整約束方程式可以很簡易地除去指定的變數。假設變數x_d是完整約束函數f_k裏的一個參數，指定除去 x_d。重新編排上述約束方程式，求出表示x_d的函數g_k：

將函數g_k代入所有提到x_d的方程式。這樣，可以除去所有指定變數x_d。

假設一個物理系統原本的自由度是N。將h個完整約束作用於此係統。那麼，這系統的自由度減少為m=N-h。可以用m個獨立廣義座標

來完全描述這系統的運動。座標的轉換方程式可以表示如下：

換句話説，由於非完整約束無法依照上述方法，來除去其所含廣義座標，完全描述非完整系統，所需要的廣義座標數目，大於自由度。

約束有時可以用微分形式的約束方程式來表示。思考第i個約束的微分形式的約束方程式：

這裏，

分別為微分

的係數。

假若此約束方程式是可積分的。也就是説，有一個函數

的全微分滿足下述等式：

那麼，此約束是完整約束；否則，此約束是非完整約束。因此，所有的完整約束與某些非完整約束可以用微分形式的方程式來表示。不是所有的非完整約束都可以這樣表示。含有廣義速度的非完整約束就不能這樣表示。所以，假若知道一個約束的微分形式的約束方程式，這約束到底是完整約束，還是非完整約束，需要看微分形式的約束方程式能否積分來決定。

表示非完整約束的方程式往往比較複雜。因此，非完整系統也比較難分析，只有簡易一點的非完整系統能用形式論來分析。假如，一個非完整系統的約束可以用以下方程式表示：

則稱此係統為半完整系統；這裏，

是廣義速度。 ^[1] 

半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地説，分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子

這裏，

是未知函數。

假設哈密頓原理成立，則下述方程式成立：

這裏，L是拉格朗日量，

分別為積分的時間下限與上限。經過變分法運算，可以得到方程式

由於這N個廣義座標中，仍舊有n個不獨立廣義座標，不能將拉格朗日方程式提取出來；必須加入拉格朗日乘子項目：

經過變分法運算，可以得到方程式

這裏，

是廣義力的j分量：

雖然還有n個不獨立廣義座標，仍舊可以調整n加入的拉格朗日乘子，使總和公式內的每一個虛位移

的係數都等於0。因此，

這N個方程式加上n個約束方程式，給予了N+n個方程式來解N個未知廣義座標與n個拉格朗日乘子。

非完整系統至少存在於以下三個狀況：