雙紐線

關於伯努利雙紐線的描述首見於 1694 年，雅各布· 伯努利將其作為橢圓的一種類比來處理。 橢圓是由到兩個定點距離之和為定值的點的軌跡。 而卡西尼卵形線則是由到兩定點距離之乘積為定值的點的軌跡。 當此定值使得軌跡經過兩定點的中點時，軌跡便為伯努利雙紐線。伯努利將這種曲線稱為 lemniscate ，為拉丁文中 “懸掛的絲帶”之意。伯努利雙紐線在科技和輕工業領域也得到了廣泛應用，在歐洲，伯努利還將伯努利雙紐線應用於賭博術中。伯努利雙紐線是一個特殊的曲線，它是卡西尼卵形線和正弦螺線等曲線的特殊情況，這就意味着伯努利雙紐線在溝通各曲線研究上起到了重要的作用， 因此對於伯努利雙曲線的探討顯得尤為重要和迫切。

雙紐線是函數圖形，不僅體現了數學美的對稱、和諧、抽象、簡潔、精確、統一、奇異、突變，同時也具有特殊的有價值的藝術美，是形成其它一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多藝術家設計作品的主要幾何元素。雙紐線函數圖形輪廓像阿拉伯數字中的“8”，在中國8是個簡單的數字，但是現代人卻給了它更豐富的意思。在南方那是發財的意思，因為和漢字“發”諧音。通過雙紐線的外延和內涵，在不對其變形的基礎上，對雙紐線函數圖形進行可用圖式的概括，在此基礎上可以創作出許多優秀的藝術作品。

如圖1所示為一雙紐線圖形。

在數學中，雙紐線是由平面直角座標系中的以下方程定義的平面代數曲線 ： ^[1] 

其中，a為圖1中

、

的長度。

伯努利雙紐線在極座標中也有簡潔的表示 ：

在雙極座標系，伯努利雙紐線的方程也類似：

（1）在笛卡爾座標系中，伯努利雙紐線關於座標原點對稱，座標原點是具有切線 y=±x 的結點和拐點。從伯努利雙紐線上任何一點 M到給定的兩點

的距離之積，等於

之間的一半距離的平方。曲線的形狀類似於打橫的阿拉伯數字 8 或者無窮大的符號

。 ^[2] 

（2）伯努利雙紐線的曲率在直角座標系中可以表示為：

（3）伯努利雙紐線的曲率半徑為：

（4）伯努利雙紐線每個回線圍成的面積為：

（1）在紡織中的應用： 伯努利雙紐線在紡織中作為花紋得到廣泛應用， 用雙紐線編織的布料外形美觀，結構緊密，具有重複性和漸變性。

（2）在增壓器中的應用： 伯努利雙紐線無撞擊雙進氣拓寬流量增壓器在工業中得到廣泛應用。

（3）在賭博術中的應用：在雅各布·伯努利的《猜度術》一書中，將伯努利雙紐線廣泛應用到賭博術中。

雙紐線函數圖形的各種排列應用

雙紐線函數圖形是構成中最基本的單位元素，在單位元素的羣集化過程中，可能變化出無數的組合形式。

雙紐線函數圖形的排列原則:

(1) 線狀的排列：排列向橫向發展，發展成為線狀圖形，有很強的方向性。可以水平方向或斜線方向發展。

(2) 面狀排列：雙紐線函數圖形以二次方向排列，構成面狀圖形。

(3) 環狀排列：把雙紐線函數圖形線狀的排列發展成為曲線，使兩端連接。

(4) 放射狀排列：雙紐線函數圖形由中心向外排列，造成放射圖形。

(5) 對稱排列：雙紐線函數圖形左右對稱排列，排列規律、整齊 ^[3]  。