雙曲螺線

在極座標系中，極徑和極角成反比例的點的軌跡叫作雙曲螺線(倒數螺線) ^[1]  。

由雙曲螺線的定義可知，雙曲螺線的極座標方程為

(

的常數).

以極點為原點，以極軸為橫軸的正半軸建立直角座標系，由於

，又由

，這就得到直角座標系中雙曲螺線的參數方程

(

為參數).

(1)對稱性 用

代替方程中的

，方程不變，所以雙曲螺線關於極垂線對稱。容易驗證，它關於極軸、極點都不對稱。

(2)週期性 不存在。

(3)存在範圍 因

的值可以無窮大，所以曲線無限延伸。

(4)漸近點與漸近線 當

的絕對值由小趨向無窮大時，則

的絕對值就逐漸減小而逐向於0，這就是説，雙曲螺線繞極點無限旋轉，雙曲螺線上的點與極點的距離趨近於0(這裏達不到0)，所以極點是雙曲螺線的漸近點。如果

的絕對值趨向於零，則

的絕對就趨向無窮大，因此雙曲螺線向無窮遠延伸。另外

(因

).

這就是説，雙曲螺線上的點沿螺線向右或向左無窮遠離時，螺線上的點就無限地接近於直線

，所以

是雙曲螺線

的一條漸近線 ^[1]  。

(1)當

時，用描點法先描出它的

的部分，

的部分可由它的對稱性描出(圖1)。

(2)當常數

時，這時的雙曲螺線也叫作反雙曲螺線。反雙曲螺線

與雙曲螺線

關於極點對稱。這是因為，若M是

上的任意一點，則M至少有一組座標

滿足這雙曲螺線的方程，即

，由此就得

這個等式説明

是雙曲螺線

上的一點，而

和

關於極點對稱。這就證明了

上的每個點關於極點的對稱點必在

上，反過來也成立，所以

與

關於極點對稱，

與

是全等的，只是它們在平面上與極軸的相關位置不同(圖2) ^[1]  。