極角

在平面上取一定點O，從O引一條水平射線

，規定方向自左至右，再選定一個長度單位並規定角旋轉的正方向，通常取逆時針方向，這樣就構成了一個極座標系，如圖1所示，點O叫作極點，射線

叫作極軸。 ^[2] 

在極座標系中，平面上任意一點M的位置，可以由OM的長度

和從

到OM的角

來確定，把

叫作點M的極徑，

叫作點M的極角，有序實數對

叫作點M的極座標，記作

。

特別地，當點M在極點時，它的座標是

，

可以取任意值，當點M在極軸上時，它的座標是

，

可以取任意正值。 ^[2] 

如圖2所示，在極座標系中，點

的極座標分別為

。

在實際應用時，極徑

和極角

也可以取負值，當

時，點

在

的終邊上取一點，使

，當

時，點

在角

終邊的反向延長線上取一點，使

，如圖3所示，當極軸按順時針方向旋轉時，

．在如圖4所示的極座標系中，點

的極座標分別為

。

由此可見，對於任意給定的一對實數

和

，在平面上就有唯一確定的點

與之相對應，反過來，平面上任意一點的極座標卻可以有無數多種表示法，圖4中的點

的極座標還可以表示為

這裏

相差

的整數倍，因此，平面上的點和它的極座標

的關係不是一一對應的，為了使點M(極點除外)的極座標能唯一確定，一般取

。 ^[2] 

極座標系和直角座標系是兩種不同的座標系，同一個點既可以用極座標表示，也可以用直角座標表示。把直角座標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，並在兩種座標系中取相同的長度單位，如圖5所示，設M是平面內任意一點，它的直角座標是

極座標是

，顯然有

利用上式，可以把點M的極座標化為直角座標。

由上面的公式，又可得

利用該公式，可以把點M的直角座標化為極座標。 ^[2] 

例1 把點M的極座標

化為直角座標。

解: 由公式

得

於是得點M的直角座標為

。

例2 把點M的直角座標

化為極座標。

解：由公式

得

因為點M在第二象限，所以

於是得點M的極座標為

。 ^[2]