集對分析

集對是由一定聯繫的兩個集合組成的基本單位。也是集對分析和聯繫數學中最基本的一個概念，由趙克勤在1989年正式提出。由於數學中規定集合的元素可以是人、事、物、數字、概念，因而如：評價標準與評價對象、設計要求和實物、目標與現狀、狀態與趨勢、現在和將來、已知與末知、確定性與不確定性、線性與非線性、簡單與複雜、時間和空間、以及兩個學生、一對戀人、教師與學生、領導與羣眾、工人與農民、商人與醫生、官員與市民,以及生存與發展、投資與回報、改革與創新、計劃與市場,以及太陽與地球、月亮與星星、火箭與飛船、物質與能源、信息與智能、機器與知識、科學與技術，以及2個數字、2條直線、2個圖形、2個方程、2個函數，2首歌曲、2幅圖畫、2塊土地、2座建築物、2條河流、2台計算機、2種疾病、2個國家、2支軍隊、2種武器，2件物品，以及正數與負數、實數與虛數、函數與圖表、圖像與方程、精確解與近似解等等,以及東西、南北、好壞、勝負、進退、盈虧、虛實、等等,都可以在一定條件下看在是集對的例子。 事實上，集對也是一種自然現象，例如我們的2隻眼睛、2只耳朵、2個鼻孔、2隻手，2條腿，都可以看作是集對的例子。 從數學的角度看，引進集對這個概念是必要的，可以為解決集合論中的悖論提供一種全新的思路。例如在集合論中有一個羅素悖論，也稱理髮師悖論，是説村上有一個理髮師，貼出服務公告，宣稱他為所有不為自己理髮的人理髮，根據集合論，這些人能組成一個集合 ，但由此引出一個問題，理髮師自己的頭該由誰理髮？如果他不為自己理髮，那麼，理髮師屬於A ；但這樣一來，理髮師又不能給自己理髮了，也就是不能屬於A ，那麼，理髮師自己的頭究競該由誰理髮？ 上面這個理髮師悖論由英國數學家和哲學家羅素（Bertrand Russell， 1872-1970）於1903年發現，所以也稱羅素悖論。羅素悖論的發現，説明了由德國數學家康託（Georg Cantor, 1845-1918）提出的集合論存在着矛盾，這個矛盾是如此的顯而易見，在構造一個普通的集合時就存在於這個集合中，震動了當時的數學界，正如著名的法國數學家龐加萊（Henri Poincare,1854-1912）所坦言，“我們圍住了一羣羊，然而在羊羣中也可能圍進了狼”。有了集對這個概念後，我們就用一個確定集A和一個不確定集B同時去描述理髮師要服務的全體對象。例如設村上包括理髮師在內共有100人，這是我們的研究對象，其中不能為自己理髮的有99人，確定屬於理髮師的服務範圍（A=99）；加上理髮師1人不能確定是否屬於理髮師的服務範圍（B=1），於是得聯繫數A+B i=99+1i，這個聯繫數的集對意義顯然是關於“所有不為自己理髮的人”這個對象集O的兩個映射集合AO（確定集）與BO（不確定集）的基數之“聯繫和”。根據以上這個例子，也可以稱集對是為研究（描述和分析）某個事物所必須的2個集合。反過來也表明：即使是一個簡單的對象（事物），也至少要用2個集合去描述。例如，要把某校的全體教師作成一個集合A，看上去是一件沒有異義、輕而易舉的事情，但有的教師同時又是學生（例如在職讀博士），具有雙重身份，遇到這種情況時，只給一個教師集A，就比較難辦，如果同時給出一個學生集B就比較好辦一些，因為雖然把在職攻博的教師放入B中也不盡全妥，但我們可以用A∩B表示有的人既是教師同時又是學生這種情況，但這裏的A∩B指的是同一個對象，因而把A和B組成集對更為自然。從這個例子又可以看出：即使是一個簡單的對象（事物），用1個集合去描述也是不夠的；此外，也可以看出：組成集對的2個集合既可以一個是確定集，一個是不確定集；也可以2個集合都是確定集，或者都是不確定集。 集對一般用大寫字母表示，如H，M，等，要表示集對H是由集合A、集合B組成時，記為H=（A，B）表示。

集對分析是在一定的問題背景下，對集對中2個集合的確定性與不確定性以及確定性與不確定性的相互作用所進行的一種系統和數學分析。通常包括對集對中2個集合的特性、關係、結構、狀態、趨勢、以及相互聯繫模式所進行的分析；這種分析一般通過建立所論2個集合的聯繫數進行，有時也可以不借助聯繫數進行分析。

對集對中的2個集合作特性分析時，需要先抽象出集對中2個集合各自的特性，再比對這2個集合在哪些特性上同一，也就是同時具備哪些特性；這2個集合在哪些特性上對立，也就是在哪些特性上相互對立、矛盾；而在其它的一些特性上既不同一，也不對立（稱之為差異，與同一有差異、與對立也有差異）這樣的分析；在此基礎上統計這2個集合的同一特性數（記為A），相反特性數（記為C），既不相同又不相反（差異）的特性數（記為B），並寫成“聯繫數”的形式：U=A（+）Bi （+）Cj，這裏j表示對立，i表示差異（中介、不確定、不確知，數據缺失等），在需要計數時，給j和 i賦值；這時要明確j代表何種對立，例如當所論問題涉及的是“正負型對立（1*（-1）=-1）”，則取j=-1，與此同時i在[-1，1]區間取值；當所論問題涉及的是“虛實型對立（1*（-1）=（-1））”時，則取j=（-1）），這時i在[1，（-1））]空間取值；如此等等；由此可見 i是j的函數，j又是問題（W）的函數，因此，i是問題（W）的複合函數，在此基礎上開展適當的數學運算和數學分析。從集對論的角度看，這時的“聯繫數”其實也是所論集對的一種特徵函數。

對集對中的2個集合作關係分析時，需要先具體分析所論2個集合的各種關係，這些關係中有的是確定的關係（如等價關係、對應關係等），有的是不確定的關係（如隨機關係、模糊關係，一因多果關係、非線性關係等），假定分析得到的關係都是同等重要的，則把所有確定的關係數計入A，所有不確定的關係數計入B，再把A和B寫成“聯繫數”：U=A（+）Bi的形式。這時的“聯繫數” U=A（+）Bi其實也是所論集對的一種特徵函數。

對集對中的2個集合作結構分析時，需要對其中的每個集合所組成的元素作空間結構分析，包括元素的性質、元素的粒度、元素的個數、元素的分佈、元素的集聚進行分析，換言之，也就是要先對一個集合的“結構”作出分析，再去比對這2個集合在“結構”上的同異反，寫出這2個集合在結構上的同異反聯繫數，這個同異反聯繫數其實也是所論集對的一種“結構函數”，當然，這種結構函數也是集對的一種特徵函數。如此等等。

有關集對狀態、趨勢和模式的分析將另作説明。

集對分析不僅適用於只有2個集合存在的場合，也適用於有多個集合存在的場合，這時需要先就每2個集合寫出聯繫數，再對得到的若干個聯繫數作適當的運算和分析，以解決給定的問題。

集對分析還主張從“集對”的本意出發：提倡同一個問題用2種或多種不同的方法、2個或多個不同的角度，2次或多次反覆去研究，再把研究結果集成，得出最後的結論，以此來保證集對分析結論的可靠性和可信性。由此可見，集對分析是研究和處理複雜系統中有關不確定性問題的一種系統數學方法。

在已有的一些文獻中，集對分析也被稱為聯繫數學，但從本義上説，2者還是有區別，主要的區別在於集對分析有時可以不借助聯繫數進行系統數學分析，但聯繫數學涉及聯繫數的運算。

集對分析由中國學者趙克勤提出於1989年包頭召開的全國系統科學與區域規劃學術研討會，20多年來在自然科學與社會科學的眾多領域得到廣泛應用，在中國知網上已可檢索到有關研究和應用集對分析的論文近2000篇，發表集對分析的高校學報有180多家，專業學術期刊350多家，其中有《中國科學》、《中國工程科學》等刊物，但作為現代數學的一個新分支，集對分析仍處在發展之中。

集對分析的英語為：Set pair Analysis,簡記為SPA.

[1] 趙克勤，集對分析及其初步應用[M]，杭州，浙江科技出版社，2000。

[2] 趙克勤，集對分析及其初步應用[J]，大自然探索，1994，13（1）：67-72。

[3] 趙克勤、宣愛理，集對論----一種新的不確定性理論方法應用[J]，系統工程，1996，14（1）：18-23。

[4] 趙克勤，二元聯繫數 的理論基礎與基本算法及在人工智能中的應用[J]，智能系統學報2008，3（6）：476-486。

[5] 趙克勤，聯繫數學的原理與應用[J]，安陽工學院學報，2009（2）：107-110）

[6]王文聖、李躍清、金菊良、丁晶，水文水資源集對分析[M]，北京，科學出版社，2010：1-180

[7]劉保相,粗糙集對分析理論與決策模型[M],北京,科學出版社,2010:1-180

[8]趙克勤,趙森烽,奇妙的聯繫數[M],北京,科學出版社,2014年:1-206

參考百度的相關詞條有“同異反聯繫數”，“同異反系統”,奇妙的聯繫數