阿波羅尼奧斯定理

在幾何形狀中，阿波羅尼奧斯定理表示三角形兩邊平方的和，等於所夾中線及第三邊之半的平方和的兩倍 ^[1]  。具體來説，在任何三角形

中，如果

是中線，那麼

這是一個特殊情況的斯圖爾特定理。對於

的等腰三角形，

的中線垂直於

，定理簡化為三角形ADB（或三角形ADC）的畢達哥拉斯定理。從平行四邊形的對角線相互平分的事實來看，該定理等價於平行四邊形定律 ^[2-3]  。

該定理可以證明是斯圖爾特定理的一個特例，或者可以用向量證明。以下是使用餘弦定律證明。

設三角形具有邊

，其中線

被繪製到a側。設

是由中線分割

形成的線段長度，因此

是

的一半。設

和

之間形成的角度為

和

，其中

包括

，

包括

。那麼

是

的補充，

。由餘弦定理可知：

根據這些方程式可得，

，即得證。