開普勒第二定律

約翰內斯·開普勒在《新天文學》中的原始表述：在相等時間內，太陽和運動着的行星的連線所掃過的面積都是相等的。 ^[2] 

表述為：中心天體與環繞天體的連線（稱矢徑） ^[3]  在相等的時間內掃過相等的面積。即：

其中r_m為從中心天體的質心引向行星m的位置矢量，vm是行星m的速度，

為行星速度v與矢徑r之間的夾角，

為m繞質心的旋轉角度。

對於二體問題，如圖1所示，記二天體質量分別為m1、m2，二體間的距離為r，二體到原點的位置向量依次記為r1，r2。則，二體間的引力作用為：

對上式相減，記

化簡方程為：

兩側同時

，由於

，得

。

對其積分，可得：

，即

。

對於其中單獨的一個天體m2，有

在dt時間內m2物體掃過的面積元為：

對上式進行積分即可得到證明。 ^[4] 

對於m2的角速度為：

由一式可以看出，這一定律實質為有心力場下二體問題的角動量守恆。

開普勒定律適用於有心力場下的二體問題。

對於處在較大引力場中的行星，如水星，會出現近日點進動的現象，此時開普勒第二定律需要用廣義相對論加以修正。具體為：

1915年，愛因斯坦根據廣義相對論把行星的繞日運動看成是它在太陽引力場中的運動，由於太陽的質量造成周 圍空間發生彎曲，使行星每公轉一週近日點進動為：

其中a為行星軌道的長半軸，c為光速，e為軌道偏心率，T為公轉週期。對於水星，計算出ε=43″/百 年。 ^[5] 

1、開普勒第二定律不只適用於引力環境下，對一切的有心力場二體問題都適用。 ^[4] 

2、

中的常數值對於不同的天體系統一般不同；對於不同的天體，

的值一般不同。

3、在二體問題中，兩個天體環繞共同的質心運動。若將其中一個天體視為靜止時，可以使用約化質量。

對於m2物體，對其採用約化質量簡化前後的其面積速度之比為

^[6] 

4、由該定律可以發現，地球等行星在近日點速度快，遠日點速度慢 ^[7] 

記

，

參考開普勒第一定律的證明,對於橢圓軌道，有其運動方程為

參考橢圓的極座標方程，可以求得

^[4] 

丹麥天文學家第谷·布拉赫死後，留下20多年的觀測資料和一份精密星表。第谷提出了一種介於地心説和日心説之間的學説，在17世紀傳入我國，併產生重大影響。在沒有天文望遠鏡的情況下，第谷對天體方位進行了幾十年的觀測，憑藉着驚人的毅力和耐心，積累了大量的精確材料，開普勒的發現，就是通過歸納分析這些材料得出的。

開普勒認為通過對第谷的記錄做仔細的數學分析可以確定哪個行星運動學説正確的：哥白尼日心説，古老的托勒密地心説，或者是第谷本人提出的第三種學説。但是經過多年仔細的計算和研究，他發現這三種學説與第谷的星表和觀測數據都不符合。

約翰內斯·開普勒在無法用已有的行星運動理論解釋第谷的觀測資料的情況下，果斷放棄了行星作勻速圓周運動的觀念，並試圖用別的幾何圖形來解釋，經過四年的苦思冥想，也就是到了1609年他發現橢圓形完全適合這裏的要求，能做出同樣準確的解釋，於是得出了“開普勒第一定律”：火星沿橢圓軌道繞太陽運行，太陽處於兩焦點之一的位置。

當開普勒繼續研究時，“詭譎多端”的火星又將他騙了。原來，開普勒和前人都把行星運動當作等速來研究的。他按照這一方法苦苦計算了1年，卻仍得不到結果。後來他發現，火星運行速度是不勻的，當它離太陽較近時運動得較快(近日點),離太陽遠時運動得較慢(遠日點)。

開普勒發現該問題後，經過精準刻苦的計算，他發現：在橢圓軌道上運行的行星速度不是常數，而是在相等時間內，行星與太陽的連線所掃過的面積相等。這就是行星運動第二定律，又叫“面積定律”。 ^[8] 

這兩條定律刊佈在1609年出版的《新天文學》(又名《論火星的運動》)中，該書還指出兩定律同樣適用於其他行星和月球的運動。

開普勒第二定律，或者是用幾何語言，或者是用方程，將行星的座標及時間跟軌道參數相連結。有效解決了對於天體運動規律的解釋。在研究天體的運動中，利用牛頓的力學和開普勒三大定律的有效結合，可以預測天體的運行軌道、運動速度、旋轉週期，從而能夠預測某一時刻到天體在空間中的位置，能夠應用到天體探測、衞星發射等領域。 ^[9] 

開普勒定律一經確立，本輪系徹底垮台，天體運動不再無規律可循，開普勒定律成了天空世界的“法律”。後世學者尊稱開普勒為“天空立法者”。 ^[9] 

首先，開普勒定律在科學思想上既有重要影響。其表現出的無比勇敢的創造精神和質疑精神激勵着後來的學者們勇於創新，勇於質疑。

其次，開普勒第二定律和開普勒第一定律徹底摧毀了托勒密的本輪系，把哥白尼體系從本輪的桎梏下解放出來，為它帶來充分的完整和嚴謹。從此，不須再借助任何本輪和偏心圓就能簡單而精確地推算行星的運動。 ^[9] 

第三，包括開普勒第二定律在內的開普勒定律使人們對行星運動的認識得到明晰概念。它證明行星世界是一個勻稱的、可以計算的系統。太陽位於每個行星軌道的焦點之一。行星公轉週期決定於各個行星與太陽的距離，與質量無關。 ^[9] 

第四，開普勒第二定律有力的證明了日心説，進一步推翻了神創論，弘揚了科學精神，推動了時代發展。為後來牛頓萬有引力的提出奠定了基礎，提供了有力論據。