開普勒第一定律

開普勒在《宇宙和諧論》發表的表述：每一個行星都沿各自的橢圓軌道環繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點中。

注意：以下式子並不是開普勒推導出的。開普勒在觀測中正確地闡明瞭火星運動的軌道定律，但是未能運用數學加以證明他的結論的普適性。也就是：開普勒本人並未就第一定律進行數學推導，這些推導是牛頓完成的。 ^[2] 

證明：（r是行星相對於太陽的位移矢量）

設定

這樣，角速度是

對時間微分和對角度微分有如下關係：

根據上述關係，徑向距離 對時間的導數為：

再求一次導數：

代入徑向運動方程

，有

將此方程除以

，則可得到一個簡單的常係數非齊次線性全微分方程來描述行星軌道：

為了解這個微分方程，先列出一個特解

再求解剩餘的常係數齊次線性全微分方程，

它的解為

這裏，

與

是常數。合併特解和與齊次方程解，可以得到通解

選擇座標軸，讓

。代回

，

其中，

是離心率。

這是圓錐曲線的極座標方程，座標系的原點是圓錐曲線的焦點之一。假若

，則

所描述的是橢圓軌道。這證明了開普勒第一定律。 ^[3] 

約翰內斯·開普勒（1571年12月27日－1630年11月15日），德國天文學家、數學家。開普勒是十七世紀科學革命的關鍵人物。他最為人知的開普勒定律，是後代的天文學家根據他的著作《新天文學》、《世界的和諧》、《哥白尼天文學概要》萃取而成的。這些傑作對艾薩克·牛頓影響極大，啓發牛頓後來想出牛頓萬有引力定律。

開普勒曾在奧地利格拉茨的一家神學院擔任數學教師。後來，他成了天文學家第谷·布拉赫的助手，並最終成為皇帝魯道夫二世及其兩任繼任者馬蒂亞斯和費迪南二世的皇家數學家。他還曾經在奧地利林茨擔任過數學教師及華倫斯坦將軍的顧問。

開普勒的第一部主要天文學作品——《宇宙的神秘》是第一部捍衞哥白尼學説並且公開發表的作品。他提出的“多面體—球體”假説雖然被證明是錯誤的，但這他是清除哥白尼學説中殘留的托勒密理論的第一步。

1600年2月4日，開普勒在伊澤拉河畔貝納特基見到了第谷·布拉赫。伊澤拉河畔貝納特基是第谷的新天文台所在地。開普勒以客人的身份在這裏住了兩個月，同時分析了第谷的一些火星發現。差不多1601年一整年，他得到了第谷的直接資助。1601年10月24日，第谷出人意料的逝世了。兩天之後，開普勒被委任成為他的繼任者，作為皇家數學家負責完成第谷未完成的工作。

《新天文學》是開普勒根據第谷的方向進行的火星軌道研究發展的頂峯。開普勒運用等分點對火星軌道進行重複近似，但是他對自己有點不準確的結果仍感到不滿意：在某些點，這個模型與數據的差異達到8弧分。在經歷大約40次的嘗試失敗以後，1605年初，他想到了橢圓形這個概念。在發現橢圓形軌道非常適用於火星的數據之後，他推斷出關於行星運動的第一定律。然而，他未將該數學分析擴展到火星之外。當年年底，他完成了《新天文學》的手稿。 ^[4]  開普勒在1619年出版的《宇宙和諧論》重新發表了開普勒三條定律 ^[1]  。

在他生命的最後幾年，開普勒花了很多時間旅行。他於1630年11月15日在雷根斯堡去世，並安葬在那裏；它安葬的地點在瑞典軍隊毀壞墓地之後不復存在。只有開普勒自創的墓誌銘還流傳下來：

“仰天之高，俯地之深。“

”九霄安魂，一隅安身。” ^[5] 

其他知識請參見詞條：開普勒第二定律、開普勒第三定律、開普勒。