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開世定理
鎖定
- 中文名
- 開世定理
- 分 類
- 圓、歐幾里得幾何
- 領 域
- 數理科學
開世定理敍述
開世定理證明
設大圓的圓心是點
;四個圓的圓心分別是點
,半徑分別是
。每個圓與大圓
的切點分別是
。
首先,根據勾股定理可以推出:對於任意的i 和j,都有
接下來的思路是將這個公式右邊的各個長度用
來表示。
考慮三角形
,根據三角形的餘弦定理:
將以上
與
代入式子(2)中,就可以得到:
再代入式子 (1)中,就得到
的表達式:
證明完畢。
開世定理推廣
可以用類似的方法證明,只要當圓
與大圓
相切(不論是外切還是內切),就會有類似開世定理的等式成立。這是需要註明,對任意的i 和j:
1、如果圓
是與大圓
以同樣的方式相切(都是外切或者都是內切)的話,則
表示兩個圓的外公切線的長度;
2、如果圓
是與大圓
以不同的方式相切(一個是外切而另一個是內切)的話,則
表示兩個圓的內公切線的長度。
另一個特點是:這定理的逆定理也成立。也就是説,如果開世定理的等式成立,那麼這些圓必定以規定的方式與大圓相切。
開世定理應用
在歐幾里得幾何學中,開世定理可以用來證明多種不同的結論。比如説費爾巴哈定理的一個簡潔證明中就用到了它。
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