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開世定理

鎖定
在幾何學中,開世定理歐幾里得幾何學中的一個定理,可以看做是托勒密定理的一個推廣結果。開世定理得名於愛爾蘭數學家約翰·開世。
中文名
開世定理
分    類
圓、歐幾里得幾何
領    域
數理科學

目錄

開世定理敍述

開世定理的背景是圓的內切圓。設有半徑為
的一個圓
,圓內又有四個圓
內切於圓
(如圖1所示)。如果將圓
的外公切線的長度設為
,那麼開世定理聲稱,有下列等式成立。 [1] 
可以注意到,如果四個內切的圓都退化成點的話,就會變成圓
上的四個點,而開世定理中的等式也會化為托勒密定理
圖1 圖1

開世定理證明

設大圓的圓心是點
;四個圓的圓心分別是點
,半徑分別是
。每個圓與大圓
的切點分別是
首先,根據勾股定理可以推出:對於任意的i 和j,都有
接下來的思路是將這個公式右邊的各個長度用
來表示。
考慮三角形
,根據三角形的餘弦定理
由於每個圓
都和大圓相切,所以:
設點
為大圓
上的任意一點,根據三角形的正弦定理,在三角形
之中,有:
所以,餘弦式
將以上
代入式子(2)中,就可以得到:
再代入式子 (1)中,就得到
的表達式:
以上等式對所有的ij都成立,因此只要注意到四邊形
圓內接四邊形,那麼對其應用應用托勒密定理就可以得到開世定理:
證明完畢。

開世定理推廣

可以用類似的方法證明,只要當圓
與大圓
相切(不論是外切還是內切),就會有類似開世定理的等式成立。這是需要註明,對任意的i 和j:
1、如果圓
是與大圓
以同樣的方式相切(都是外切或者都是內切)的話,則
表示兩個圓的外公切線的長度;
2、如果圓
是與大圓
以不同的方式相切(一個是外切而另一個是內切)的話,則
表示兩個圓的內公切線的長度。
另一個特點是:這定理的逆定理也成立。也就是説,如果開世定理的等式成立,那麼這些圓必定以規定的方式與大圓相切。

開世定理應用

在歐幾里得幾何學中,開世定理可以用來證明多種不同的結論。比如説費爾巴哈定理的一個簡潔證明中就用到了它。 [2] 
參考資料
  • 1.    Bottema O. Topics in Elementary Geometry[J]. 2009.
  • 2.    Johnson R A. Advanced Euclidean geometry[J]. Sirirajmedj Com, 2007.