閉線性子空間

閉線性子空間是一類子空間。

賦範空間中的按範數導出的距離還是閉的線性子空間稱為閉線性子空間。 ^[1] 

設W是域P上的線性空間V的一個非空子集合，若對於V中的加法及域P與V的純量乘法構成域P上的一個線性空間，則稱W為V的線性子空間（或向量子空間），或簡稱子空間。

注：1.V的非空子集W是子空間的充分必要條件是：

（1）子集合W的任意兩個向量α與β之和α+β仍是W中的向量；

（2）域P的任一數k與子集合W的任意一個向量α的積kα仍是W中的向量。

向量的範數是長度概念的推廣。設

是域

（實數域或複數域）上的線性空間，函數

滿足條件：

1)對

；且

當且僅當

；

2)對

，有

（齊次性）；

3)對

，有

（三角不等式）。

稱

是

上的一個範數，

上定義了範數

稱為（線性）賦範空間，記為

，有時簡記為

。