-
量綱分析
（自然科學中一種重要的研究方法）
鎖定
- 中文名
- 量綱分析
- 外文名
- dimensional analysis
量綱分析概述
各種物理量之間存在着關係，説明它們的結構必然由若干統一的基礎成分所組成，並按各成分的多寡形成量與量間的千差萬別，正如世間萬物僅由百餘種化學元素所構成。物理量的這種基本構成成分統稱為量綱。由於物理學研究物質在時空中的演化和運動，所以一切定量問題最終離不開質量、時間和長度這三種基本量。因而最適宜於選取M、T、L做為這三種基本量的量綱。一切其他導出量的量綱可按定義或客觀規律表成這三種基本量的量綱組合。基本量有多種取法，在力學中通常取質量、長度和時間為基本量，其他量（例如速度、力等）可按一定規則由基本量導出。任何其他三類量綱互相獨立的導出量也可作為基本量。性質上完全不同的兩物理量可具有相同的量綱，例如功和力矩就是如此。任何正確反映物理現象規律的方程，其兩端各項都必須具有相同的量綱。
物理量的大小，除按個數計的外，通常由一個或幾個實數連同所採用的單位表示。這種數一般稱為“名數”，意為不標明單位名稱就沒有意義的數。名數的實數值可以隨不同的對象處於不同的時間或空間而不同。這是由於對象不同或本身發生變動而引起的實質變化。但名數值還會隨所採用的單位大小而改變，而且是單位大小的連續函數。因為單位的大小可以任選，所以名數值的上述改變不是客觀的實質變化。實質變化的規律是學科本身的研究對象。研究得出的各種各樣的物理定律被表成數學方程的形式，控制着有關量本身的消長。非實質變化則不牽涉實質客觀過程，只反映單位的主觀選擇。客觀規律當然不涉及依賴於主觀，這就要求數值的非實質變化必須保證事物客觀大小的絕對性。具體説，任何兩個一定大小的同類量，不論測量的單位如何，它們的相對大小永遠不變，即它們的比值對任何單位都必須是個定值。同類量相對大小對於單位的不變性是度量的根本原則。違反這一原則，量度將沒有任何意義。根據這個原則，可以導出以下的重要結論：在確定的單位制中，所有物理量的量綱都具有基本量量綱的冪次積形式（證明從略），即它們的形式可寫成αaβbγc，其中α、β、γ為基本量的量綱；冪次a、b、c為常數，但不一定是整數。
常見力學量的量綱式
力學量 | 定義 | 量綱式 |
基本量 | M | |
基本量 | L | |
基本量 | T | |
速度 | 長度/時間 | LT-1 |
加速度 | 長度/時間 | LT-2 |
力 | 質量×加速度 | MLT-2 |
動量 | 質量×速度 | MLT-1 |
能量、功 | 力×長度 | ML2T-2 |
力矩 | 力×長度 | ML2T-2 |
角度 | 弧長/半徑 | 1（M0L0T0） |
角速度 | 角度/時間 | T-1 |
角加速度 | 角速度/時間 | T-2 |
轉動慣量 | 質量×半徑平方 | ML2 |
密度 | 質量/體積 | ML-3 |
壓力 | 力/面積 | ML-1T-2 |
作用量 | 能量×時間 | ML2T-1 |
粘性係數 | 單位速度梯度下單位面積上的力 | ML-1T-1 |
量綱分析完整性和齊次性
實際現象總是同時參有許多物理量。它們間通過理論與實驗建立起一定的依存關係，構成某一客觀規律的數學算式。顯然，這種數量關係必須有具體內容，列成算式時要首先考慮運算的含義。物理中只有同類量或它們的同樣組合才能進行加減。另外，在建立算式時要採用統一單位制的觀點，否則將無法按名數的大小來進行比較。當然，單位總可以通過換算給予統一，因而不構成任何限制。其次，所建立反映客觀實際規律的關係式，必須在單位尺度的主觀任意變換下不受破壞。關係式的這一性質稱為“完整性”。
表現數量關係的最一般形式是多項式。保證多項式的完整性有兩種辦法：一是要求出現在算式中的一切參量都是無量綱純數，二是要求式中所有各項具有完全相同的量綱，也就是每一項的每一基本量綱都有相同的冪次，即所謂量綱的齊次性。算式中各項都是有關名數的冪次積，它們可分為量數和量綱兩部分。既然量綱齊次，等式兩邊的量綱因子就可以相消，只剩下純粹由量數構成的關係方程，也就是無量綱化了。總之，量綱齊次是構成完整性的充分和必要條件。
應該指出，任何兩個量綱齊次的算式，假如硬性相加成為新的多項式，它雖然仍具有完整性，但可能變為非量綱齊次。這是因為兩個算式分別表示不同類量間的關係。自由落體公式h=1/2gt2（h為落距，g為重力加速度，t為時間）是量綱齊次式。如果將此式用於特定單位（例如長度和時間單位只允許用英尺和秒），則變成h=16t2，從而失去完整性。任何算式應用於具體實例都是如此，所以無需看作是量綱齊次的破壞。
[1]
量綱分析π定理
所有完整的關係式都可以無量綱化。假定某一物理現象中有關參量x、x1、…xk、…、xn之間存在着如下的完整關係：
φ（x，x1，…，xk，…，xn）=0，
或寫成：x=f（x1，…，xk，…，xn）。
如果式中n個參量中有k個量x1、x2、…，xk是量綱獨立的，則通過單位尺度的變換，就可將上述關係式化為無量綱方程：
x=f（1，1，…，1，x1，x2，…，xn－k），
式中x1、x2、…、xn－k是由x1、…、xn中k個量綱獨立的參量所組成的無量綱參數。所謂量綱獨立指其中任何一個量的量綱式不能由其餘量的量綱式的冪次積所組成。例如MLT體系中長度[L]、速度[LT]和能量[MLT]三者是獨立的，而長度[L]、速度[LT]和加速度[LT]三者間則非獨立的。三個基本量的體系一般也只具有不多於三個的量綱獨立量。一般方程式通過對原來n個參量的無量綱化，一定可得到n－k個獨立無量綱參數x1，…，xn－k的函數關係式（證明從略）。這就是所謂的π定理。
量綱分析的重大作用在於通過π定理減少了問題中參量的個數，這對實驗安排具有難以估量的重要性。下面舉一個π定理簡單應用的實例：試問在怎樣的條件下，管流才會從層流過渡為湍流？根據一般觀察，大致可以認為這一轉變跟管徑d、平均流速v、流體密度ρ和動力粘性係數μ有關。即假定轉變將出現在以上四個參量滿足某一關係式
φ（ρ，μ，d，v）=0
的時刻。現根據π定理採用其中三個量綱獨立的量ρ、μ、d做為基本量，按前述步驟進行無量綱化，上式即變為：
φ（1，1，1，π1）=0，
式中1/π1=ρvd/μ=Re，稱為臨界雷諾數，故有φ′（Re）=0。這是一個一元代數方程，解出方程的根，就得到：
Re=常數。
