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Π-定理
鎖定
- 中文名稱
- Π-定理
- 英文名稱
- Πtheorem
- 定 義
- 任何一個由n個有量綱的物理量參與的物理過程中的函數關係都可以轉換成由n-k個這些物理量組成的無量綱量Πi之間的函數關係,其中k是具有獨立量綱的物理量的數。由於這些無量綱量是以不同的Πi數來表示的,故稱為Π定理。
- 應用學科
- 航空科技(一級學科),飛行原理(二級學科)
以上內容由全國科學技術名詞審定委員會審定公佈
Π-定理定理內容
Π-定理量綱
由於各物理量之間存在規律性的聯繫,我們不必對每個物理量的單位都獨立地予以規定。我們可以選取一些物理量作為“基本量”,並且為每個基本量規定一個“基本量度單位”,其他物理量的量度單位則可以按照它們與基本量之間的關係式(定義或定律)導出,這些物理量稱為“導出量”,它們的單位稱為“導出單位”。按照此種方法構成的一套單位,構成一定的“單位制”。在不同的單位制中,不僅基本量的選取可以不同,基本量的數目也可以不同。例如,CGS單位制中有三個基本量,MKSA單位制中有四個基本量。
量綱可以看成是某個“矢量空間”中的“矢量”。於是,對
式兩端取對數,則有
Π-定理Π定理
量綱分析法的理論基礎是Π-定理,這個定理是E.Buckingham
[1]
在1914年提出的:
可相應表達為無量綱形式:
(在
的情況下有兩種可能:若
的量綱彼此獨立,則不能由他們組成無量綱的量;若不獨立,則還可能組成無量綱的量。)
Π-定理證明
設
個物理量的量綱為
寫成分量形式,用矩陣表示,則有:
我們設想把
的量度單位分別改變為原來的
,則在這個單位制下這些量的數值
與原來的數值
有如下關係:
函數式
不應該受度量單位變化的影響,亦即我們有:
對於上述的特殊選擇,有
Π-定理等價形式
Π定理可以表示為另一等價形式,這一形式在很多場合更便於使用。在一定問題中物體系的發展和演化往往由若干個變量決定,不妨叫做“主定參量”在上面的推演中,
實際上起着一組新基矢的作用,我們儘可以選為代表主定參量的量綱矢量。如果在其他的物理量中我們感興趣的是其中的某一個,譬如
,則我們可以從
式中把
解出來:
Π-定理應用
Π-定理有許多應用,給出兩個例子。
Π-定理量子漲落
利用Π-定理解答是。除了距離
外,這裏涉及電磁場,有關的參量為真空中的光速
;還涉及到量子效應,有關的參量還有普朗克常數
,從量綱表
可以解出
,即
Π-定理勾股定理
這個著名的定理,又稱畢達哥拉斯定理,也可以用量綱法來證明。
這便是勾股定理。
- 參考資料
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- 1. E. Buckingham Phys. Rev. 4, 345 – Published 1 October 1914 .American Physical Society Sites[引用日期2019-01-12]
- 2. Buckingham,E,Phys.Rev.,4(4),345(1914);J.Wash.Acad.,Sci,3,347(1914).
- 3. 趙凱華.定性半定量物理:高等教育出版社,2007