中線定理

中線定理（pappus定理），又稱重心定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形三邊和中線長度關係。 ^[2] 

定理內容：三角形一條中線兩側所對邊平方的和等於底邊一半的平方加上這條中線的平方的和的2倍。

即，對任意三角形△ABC，設是I線段BC的中點，AI為中線，則有如下關係：

AB²+AC²=2BI²+2AI²

或作AB²+AC²=（1/2）BC²+2AI²

古希臘幾何學家、天文學家阿波羅尼(奧)斯 (P．Apollonius，公元前 262一前 190)是歐幾里得 (Euclid，公元前330～前275)的門徒，他對幾何學的醒目貢獻是把歐幾里得的《圓錐曲線》完善為新專著《圓錐曲線論》；他提出的“中線定理”， 迄今也有實用價值。 ^[4] 

中線定理即為斯圖爾特定理在中點時的結論，可由斯台沃特定理直接得出，但是斯台沃特定理不容易理解。下面有四種比較容易理解的方法。

如圖1，在△ ABC中，AI為BC邊上的中線。求證：AB²+AC²=

(BC)²+2AI²

以BC的中點I為原點，直線BC為x軸，射線IC方向為x軸正方向，建立如圖1所示的平面直角座標系。設A點座標為（m，n），B點座標為（-a，0），則C點座標為（a，0）。

過A點做AD⊥x軸交x軸於點D，AE⊥y軸交y軸於點E，則D（m，0），E（0，n）。

由勾股定理可得

AO²=m²+n²,

AB²=(a-m)²+n²=a²-2am+m²+n²,

AC²=(a+m)²+n²=a²+2am+m²+n².

∴AB²+AC²=a²+2am+m²+n²+a²-2am+m²+n²

=2a²+2m²+2n²=2a²+2(m²+n²)

又∵AO²=m²+n²,

∴AB²+AC²=2a²+2AO²

又∵B（-a，0），C（a，0）,

∴a=

BC

∴a²=

BC²

∴2a²=2·

BC²=

BC²

∴AB²+AC²=

BC²+2AO²=

BC²+2AI².

如圖2，利用餘弦定理來證明。

如圖3，AI是△ABC的中線，AH是高線。利用勾股定理來證明。 ^[3] 

在Rt△ABH中，有AB²=AH²+BH²

同理，有AI²=AH²+HI²，AC²=AH²+CH²

並且BI=CI

那麼，AB²+AC²

=2AH²+BH²+CH²

=2(AI²-HI²)+(BI-IH)²+(CI+IH)²

=2AI²-2HI²+BI²+IH²-2BI×IH+CI²+IH²+2CI×IH

=2AI²+2BI²

向量法證明中線定理。

如圖4，AI是△ABC的中線，分別取向量

、

、 、 、

。

則

注意到

並且

∴得

在以上討論中，通過兩式相減，還可以得到|AB^2-AC^2|=2BC*IH。 （H為垂足）