進位

在基本算術中，進位是一種運算形式，加法運算中，每一數位上的數等於基數時向前一位數進一，它是標準算法的一部分，通過從最右邊的數字開始合併然後傳遞到左邊。 例如，當在十進制下計算6和7的和等於13時，“3”被寫入右邊一列，而產生的進位“1”被寫到左邊。 當用於減法時，該操作稱為借位。 ^[1] 

進位就算是在高等數學中也是會出現的。 在計算中，進位是加法器電路的重要功能。

以個位向十位進位為例：基數為10（2進制的基數是2，類推），個位這個數位上的數量達到了10的情況下，則個位向前一位進1，成為一個十。

在十進制的算法中，個位滿十，在十位中加1；十位滿十，在百位中加一。

在二進制的算法中，個位滿二，在十位中加1；十位滿二，在百位中加一。

以此類推。

進位的典型例子：

7 + 9 = 16，數字1是進位。

相反的是借位，如下

這裏，7 - 9 = -2，所以嘗試（10 - 9）+ 7 = 8，10是從左邊的下一個數字中取（“借”）1。 方式有兩種：

（1）十位數向下一個數字轉換，在本例中，在十列中為3 - 1。 根據這種方法，“借”這個詞是一個不正確的詞，因為十是從來沒有回報。

（2）十位數從左下一個數字複製，然後通過將其添加到“借用”列中的減號中“給予回報”，在本例中，在第十列中列出了4 - （1 + 1）。

傳統上，在小學二年級或後期就講授了進位這個概念。 然而，自20世紀末以來，許多廣泛採用的在美國開發的課程，如TERC，省略了傳統方法的指導，都是一些發明的算術方法，以及使用操縱和圖表的方法。 這樣的遺漏被數學羣體批評，一些州和地區已經放棄了這個實驗，儘管它仍然被廣泛使用。

庫默爾定理指出，在p中加入兩個數字的進位數相當於除以某個二項式係數的p的最大冪的指數。

當添加多個數字的幾個隨機數時，進位數字的統計數據與歐拉數字和混合隨機排列的統計值有意想不到的關聯。

在抽象代數中，兩位數字的進位操作可以使用組同調語言進行形式化，這個觀點可以應用於實數的替代表徵。

當談到像加法器這樣的數字電路時，進位字在類似的意義上被使用着。

在大多數計算機中，算術運算（或從移位操作中移出的位）的最高有效位的進位置於特殊進位位中，該進位位可用作多精度運算的進位或測試並用於控制計算機程序的執行。 相同的進位位也通常用於指示減法中的借位，儘管由於二進制補碼運算的影響，該位的含義被反轉。 通常，進位位值“1”表示加法溢出ALU（加法器），並且在添加長度大於CPU的數據字時必須加以説明。 對於減法操作，採用兩個（相反）約定，因為大多數機器在借位時設置進位標誌，而某些機器（例如6502和PIC）則以借位（反之亦然）重置進位標誌。