週期攝動

攝動指一個天體繞另一個天體按二體問題的規律運動時，因受其它天體的吸引或其他因素的影響，在軌道上產生的偏差，這些作用與中心體的引力相比是很小的，因此稱為攝動。天體在攝動作用下，其座標、速度或軌道要素都產生變化，這種變化成分稱為攝動項。

攝動理論已有二百多年的歷史，歐拉、拉格朗日、高斯、泊松和拉普拉斯等許多著名的學者都為它的發展作過不少貢獻，先後提出過的攝動方法不下百種。歸納起來，大致可分三類：座標攝動法、瞬時橢圓法和正則變換。有些方法不能明確地列入哪一類，例如著名的漢森方法就兼有一、二兩類的特性。

天體座標，速度或軌道要素的攝動量中隨時間作週期變化的部分，也就是攝動項中時間的週期函數項。週期攝動中變化週期小於或等於天體運動軌道週期的項稱為短週期攝動項。短週期攝動的振動振幅一般都比較小但項數比較多，它反映了天體真實運動軌道相對於平均運動軌道的短時間偏離和天體運動軌道的精細結構，在需要精確測定天體運動軌道時必須考慮短週期攝動。週期攝動中變化週期大於天體運動軌道週期的攝動項稱為長週期攝動項，它的變化振幅通常要比短週期攝動大幾個量級，因而對天體的運動有較明顯的影響。研究長週期攝動形成的原因以及與天體運動和形狀等其他物理量之間的關係等問題一直是天體力學攝動理論中的重要課題。

長期以來，許多學者對牛頓運動方程解的存在和唯一性問題進行過研究，解決這類問題的方法主要有不動點定理，擾動理論、全局反函數定理、連續同倫法、變分法等。馮豔青等利用全局同胚理論對週期擾動保守系統週期解存在性和唯一性問題進行了研究，得到了週期解存在的一個充分條件，推廣了上述系統解存在問題的一些結果。 ^[1] 

劉國慶等討論了週期攝動非線性守恆系統，利用Hadamard定理證明了在適當的條件下連續問題解的存在唯一性，並在均勻網格上對方程作了離散化，給出了相應的離散問題具有唯一解的結果，最後討論了數值解的精度及有關算法。

陳立羣等基於幾何結構的分析，得到了準週期攝動平面非Hamilton可積系統中存在混沌的一個必要條件，舉例説明了該條件的應用。 ^[2] 

用最小二乘方法擬合長弧段的觀測資料且用數值積分可以獲得具有一定精度的長弧參考軌道。例如美國Texas大學空間研究中心擬合7.7年的Lageos衞星激光測距資料同時解算長弧軌道和一些動力學參數，得到的最佳擬合解稱為LLA8402，擬合後的殘差均方根值為1.07米。長弧軌道可以是由6個隨時間變化的軌道根數組成的。由於力學模型誤差的存在，在長弧解裏包含了非模型的長週期攝動的系統差，一些週期短於長弧間隔的非模型攝動在長弧解裏大部分已被平滑掉了。這種長週期系統差反映在殘差中，使殘差變化呈現一種系統傾同，反映在軌道根數上，根數中的這種系統差表現為是時間的慢變函數。利用這一系統差的特性，我們可以把長弧軌道分成一系列等間隔的短弧，在每一短弧上對長弧殘差進行連續的短弧擬合，以求得對長弧參考軌道根數的短弧改正值。短弧的長度可以根據不同的情況和需要，從1至30天中任意選擇，只要保證有足夠的資料進行好的短弧擬合。在短弧擬合求解中，利用在軌道根數上長週期系統差呈現慢變化的特點，並考慮到長弧參考軌道已有一定的精度，所以在每一選定的短弧上，對於參考軌道的根數改正量，除與質量有關的量外，均能認為是常數。這樣，狀態轉移矩陣擬就能取簡單的形式，使擬合解算十分方便。長弧根數的改正值從一段短弧到另一段短弧是變化的，其中的長週期變化就代表了非模型的長週期攝動的影響。為了消除根數改正值在各段短弧邊界點上的間斷，並把它們中的主要信息—長週期部分取出，可選用適當的平滑因子對一系列根數的改正值進飯Vondrak平滑，然後再確定相應於每一觀測時刻的6個根數的改正值。利用這種長弧和短掀千目結昔的擬合方法，就能消除長弧解中的長週期系統差，而使初始長弧殘差也得到了相應的修正。 ^[3]