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透視對應
鎖定
透視對應(perspective correspondence)是一種特殊的射影對應，設l與l′是同一平面上的兩條直線，在l與l′上各添加一個無窮遠點，就可以由中心投影建立直線l上的點與直線l′上的點之間的一一對應，這種通過中心投影所建立的兩直線上的點之間的一一對應稱為兩直線間的透視對應。同樣，引入無窮遠元素以後，也可以通過中心投影建立兩平面的點之間的一一對應，該對應就稱為兩平面之間的透視對應。若點列s(A，B，C，…)與線束S(a，b，c，…)在中心投影之下建立了一一對應，則稱該對應為點列s與線束S之間的透視對應，在這種透視對應中，點列s是從直線s截割線束S得到的截影，該點列稱為該線束S的透視點列，點S稱為透視中心。而線束S是從點S投影點列s而得到的投影，該線束稱為點列s的透視線束，直線s稱為透視軸，對應的點列s和線束S稱為透視的。若兩個點列s(A，B，C，…)和s′(A′，B′，C′，…)都是同一線束S的截影，則稱這兩個點列間的對應為透視對應。若兩個線束S(a，b，c，…)和S′(a′，b′，c′，…)都是同一點列s的投影，則稱這兩個線束間的對應為透視對應
[1]
。
- 中文名
- 透視對應
- 外文名
- perspective correspondence
- 所屬學科
- 數學
- 性 質
- 一種特殊的射影對應
- 所屬問題
- 高等幾何(射影幾何)
透視對應定義
圖1
對偶地，有下面的定義。
定義2 點列
的點與不在底s上一點S連接，得一線束
，則線束
叫做由點S投射到
的線束。
在圖1中，以點S為中心的線束被以s為底的點列截得的截影為
定義3 如果點列
是線束
在直線s上的截影，那麼這個截影叫做從線束
到點列
一個透視對應，記為
定義4 如果兩個點列與同一個線束成透視對應，那麼這兩個點列叫做透視點列，線束中心叫做透視中心，兩點列中同在線束的一條直線上的兩點叫做對應點。
圖2
如圖2所示，線束
分別在直線
和
上的截影
與
成透視點列，記為
對偶地，有下面的定義。
定義5 如果兩個線束與同一點列成透視對應，那麼這兩個線束叫做透視線束，點列的底叫做透視軸，兩線束中交於透視軸上同一點的一對直線叫做對應直線。
圖3
如圖3所示，由點
分別投射到點列
所得的兩個線束
與
成透視線束，記為
由上討論可知，兩個成透視對應的點列，其中對應點的連線必共點；兩個成透視對應的線束，其對應線的交點必共線。
注：顯然，透視關係具有對稱性，但是它不具有傳遞性，如圖4所示，
圖4
透視對應定理
定理1 不同底兩點列間的射影對應，成為透視對應的充要條件是：它們底的交點自對應。
定理2 不同中心兩線束間的射影對應，成為透視對應的充要條件是；它們中心的連線自對應。
定理3 不同底兩點列間的射影對應必可分解為兩個透視對應的乘積。
