轉動自由度

轉動自由度有三個（就是需要三個獨立的量來描述），因為它們的轉動軌跡是限制在一個以質心為圓心球面上的，星球在球面的哪個位置完全可以用兩個角度描述：假設以球心建立x,y,z座標，這兩個角度就是在x,y平面內的和x的夾角，以及和z軸的夾角。用這兩個角度可以完全描述，因為和x的夾角取值範圍在0到360度加上和z的夾角取值範圍在0到180度就可以涵蓋球面的任意角落。 ^[1] 

分子的運動由平動、轉動和振動三部分組成。平動可視為分子的質心在空間的位置變化，轉動可視為分子在空間取向的變化，振動則可看成分子在其質心和空間取向不變時，分子中原子相對位置的變化。對於一個原子數為 N 的分子來説， 總共具有 3N個運動自由度， 需要3個空間座標來確定這個分子質心的位置，如果這個分子是非直線的，則需要3個座標來確定分子在空間的取向；如果是直線分子，2個座標就可以確定分子在空間的取向。因此需要6個座標確定非線性分子的平動和轉動自由度，5個座標確定線性分子的平動和轉動自由度。在確定分子的平動和轉動自由度數量後，剩下的就是分子的振動自由度。從以上的討論可以看出，一個非線性（非直線）分子具有 3N-6 個振動自由度，線性（直線）分子具有 3N-5 個振動自由度。每個振動自由度代表一種獨立的振動方式，稱為簡正模式。在簡正模式中，分子的質心和空間取向保持不變，每個原子以相同的頻率在平衡位置附近振動，同時通過平衡點。間歇振動模式是分子最基本的振動方式。

剛性雙原子分子如氫 、氧 、氮 、一氧化碳CO等分子，兩個原子間聯線距離保持不變。就像兩個質點之間由一根質量不計的剛性細杆相連着（如同啞鈴），確定其質心O’的空間位置，需3個獨立座標（x，y，z）；確定質點聯線的空間方位，需兩個獨立座標（如α，β），而兩質點繞聯線的的轉動沒有意義。所以剛性雙原子分子既有3個平動自由度，又有2個轉動自由度，總共有5個自由度 i = t + r =3 + 2 = 5。 ^[2] 

一個剛體在空間任意運動時，可分解為質心 O’ 的平動和繞通過質心軸的轉動，它既有平動自由度還有轉動自由度。確定剛體質心O’的位置，需三個獨立座標（x，y，z）—自由剛體有三個平動自由度 t = 3；確定剛體通過質心軸的空間方位──三個方位角（α，β，γ）中只有其中兩個是獨立的──需兩個轉動自由度；另外還要確定剛體繞通過質心軸轉過的角度θ──還需一個轉動自由度。這樣，確定剛體繞通過質心軸的轉動，共有三個轉動自由度 r = 3。所以，一個任意運動的剛體，總共有6個自由度，即3個平動自由度和3個轉動自由度，即i = t + r = 3 + 3 = 6。以上內容為定義，要強調的是自由度和它的運動狀態沒有關係，而是要看它所受到的約束。