路徑積分表述

量子力學的路徑積分表述（英語：path integral formulation）是一個從經典力學裏的作用原則延伸出來對量子物理的一種概括和公式化的方法。它以包括兩點間所有路徑的和或泛函積分而得到的量子幅來取代經典力學裏的單一路徑。 ^[1] 

路徑積分表述的基本思想可以追溯到諾伯特·維納，他介紹的維納積分解決擴散和布朗運動的問題。在1933年他的論文中，由保羅·狄拉克把這個基本思想被擴展到量子力學中的利用拉格朗日算符。路徑積分表述是理論物理學家理查德·費曼在1948年發展出來。一些早期結果是在約翰·惠勒指導下的費曼的博士論文中在早些時候已經被摸索出。

因為路徑積分的表述法顯然地把時間和空間同等處理，它成為以後理論物理學發展的重要工具之一。

路徑積分表述也把量子現像和隨機現像聯繫起來。為1970年代量子場論和概括二級相變附近序參數波動的統計場論統一奠下基礎。薛定諤方程是虛擴散係數的擴散方程，而路徑積分表述是把所有可能的隨機移動路徑加起來的方法的解析延拓。因此路徑積分表述在應用於量子力學前，已經在布朗運動和擴散問題上被應用。

哈密頓算符H是量子力學中的時間演化算符

的生成算符： ^[1] 

一個量子粒子在時刻 t_a到 t_b間從位置x_a運動到x_b的量子概率幅是：

因為

是很複雜的算符函數，直接用以上定義計算

非常困難。 時間演化算符符合

因此量子幅符合

此公式的物理理解為：從

出發，在時刻

先穿過位置x再到達

路徑的總量子幅是兩段路徑量子幅的積；而從

到

的量子幅是所有這種路徑的和。

假設粒子在時刻t_a到t_b間從位置x_a運動到x_b。那可以把之間的時間平均分割成個別的時間區間： ^[2] 

。每一段的時間是

。 在時刻t_j-1和 t_j間粒子的量子幅是：

因為

和

是互不交換的算符，所以必須運用它們的交換子關係：

把

修成所有的

在

左方的正常順序：

做時間切片的作用是：當取切片數趨向無限大的極限時，原本非正常順序的哈密頓算符可以以正常順序版代替。在正常順序算符下，

從算符簡化成普通複數。 因此

把所有連接

和

的路徑相加得到的總量子幅是：

其中，S是路徑x(t)的作用量，拉格朗日量

的時間積分：

自由粒子的作用量（

）：

可以插入路徑積分裏做直接計算。 暫時把指數函數內i去掉可容許比較簡易的理解計算。以後可以用威克轉動回到原式：

是以上時間切成有限片的積分。連乘裏每一項都是平均值x(t)方差為c的高斯函數。多重積分是相鄰時間高斯函數

的卷積：

這裏面共包含

個卷積。傅里葉變換下卷積變成普通乘積：

高斯函數的傅里葉變換也是一個高斯函數：

因此

反傅里葉變換可以得到實空間量子幅：

時間切片方法原則上不能決定以上比例係數。以隨機運動概率來理解可得到以下正規條件：

從這條件可得到擴散方程：

回到振盪軌道，即恢復分子裏的原本的i。這可同樣得到一系列高斯函數的卷積。但這些高斯積分是嚴重振盪積分而要小心計算。一個普遍方法是讓時間片

帶一個小虛部。這等同於以威克轉動在實時間和虛時間間轉換。在這些處理下可得到傳播核：

運用和之前一樣的正規條件，重新得到自由粒子的薛定諤方程：

這意味着任何G的線性組合也符合薛定諤方程，包括以下定義的波函數：

和G一樣服從薛定諤方程：