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變分問題

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變分問題(variational problem)是有關求泛函的極大值和極小值的問題。最早研究的重要變分問題有：1.最速降線問題：給定不在同一鉛垂線上的兩點A和B，求出連結A和B的一條曲線使其具有這樣的性質：當質點受重力作用沿着這條曲線由A下滑至B時所需時間為最少。2.短程線問題：求曲面φ(x，y，z)=0上所給二點間長度最短的曲線，這條最短曲線稱為短程線或測地線。3.基本的等周問題：求長為一定的封閉曲線l，使其所圍的面積S為極大 [1]  。
中文名
變分問題
外文名
variational problem
所屬學科
數學
簡    介
有關求泛函的極大極小值的問題
所屬問題
偏微分方程(變分解法)
相關概念
最速降線問題、短程線問題
釋    義
有關求泛函的極大值和極小值的問題

目錄

  1. 1 最小曲面問題
  2. 2 最速降線問題
  3. 3 等周問題
  4. 4 短程線問題

變分問題最小曲面問題

設
平面上的開區域
，其邊界記為
，在
上給定函數值
是已知函數，於是得到一空間曲線
其中曲面
正是所要求的曲面，此曲面要求滿足的條件是由曲線C在空間中所張成的曲面面積最小。
由微積分的知識可以推導出曲面
在開區域
上的面積表達式。
不妨假設函數
滿足隱函數存在定理的條件，則有
，並且曲面的面積可表示為
很顯然，當給定不同的
時，面積S是不同的。曲面面積是關於函數
的函數，稱面積S是函數
的泛函．函數
必須滿足如下條件：①存在連續的一階偏導數；②
在邊界
必須與
相等。用集合的概念描述為
於是，求最小曲面問題就可以轉化為如下泛函極值的問題 [2]  ：
求
，使得

變分問題最速降線問題

求質點的運動軌跡曲線，質量為m的質點在重力的作用下，沿此光滑曲線無摩擦運動，使質點從點
下降到點
的速度最快或者時間最短。
設任意一條過A，B兩點的曲線的方程為
，點P是曲線上的任意一點，設質點
過此點的速率是
，由能量守恆有
其中s是質點所走過的路程，即從A點到P點的弧長，由弧微分公式：
把式(2)代人式(1)有
或者
對上式兩邊進行積分，得到從A點到B點的時間為
顯然，選擇不同的路徑曲線，得到時間是不同的，即時間T是路徑
的函數。曲線
要滿足如下條件：①函數
存在一階導數；②點
必須存曲線上，即
，用集合的概念描述為
於是，求最速下降問題就可以轉化為如下泛函極值的問題 [2]  ：
求
， 使得

變分問題等周問題

存周長為
的所有在平面上光滑的封閉曲線中，求所圍面積最大的曲線。
設封閉曲線的參數方程為
，由弧長公式知曲線方程應該滿足如下方程：
由封閉曲線所圍成的面積公式有
曲線
要滿足：①函數
存在一階導數；②函數
滿足式(3)。用集合的概念描述為
於是，等周問題轉化為如下泛函極值的問題
求
， 使得

變分問題短程線問題

求在曲面
上給定兩點
之間最短曲線的方程。比如，球面上任意兩點之間的球面上距離最短的曲線就是過這兩點的大圓的劣弧。
設
為參數，曲面上的光滑曲線用參數方程
表示，那麼過A，B兩點的曲線長度為
曲線
要滿足：①函數
存在一階導數；②函數滿足
。用集合的概念描述為
於是，短程線問題轉化為如下泛函極值的問題：
求
， 使得
總結上面四個實際問題的例子，都是研究泛函在某個集合上的極值問題．這就是古典變分問題 [2]  。
參考資料
  • 1.    《數學辭海》編輯委員會．數學辭海·第三卷：中國科學技術出版社，2002
  • 2.    熊春光，李育安．科學與工程計算方法（第2版）=COMPUTATIONAL METHODS IN SCIENCE & ENGINEERING：清華大學出版社，2015.10