譜分佈函數

在連續參數情形，設{X(t),t∈(-∞,∞)}是均方連續的寬平穩過程，R(𝜏)是它的相關函數。由R(T)的非負定性和波博赫納-辛欽定理知，存在有界非降右連續函數F，使得

，這時稱函數 F 為過程的譜分佈函數，也有文獻稱過程的協方差函數 𝛤(𝛾) 通過

確定的有界非降右連續函數 F 為過程的譜分佈函數。

在離散參數情形，設{X (t),t=0,±1,±2,…}是寬平穩序列，R(𝜏)是它的相關函數，則存在[-𝞹,𝞹]上有界非降右連續函數 F ，使得

或使得協方差函數

，這時稱F為序列的譜分佈函數。

譜分佈函數 F 不是惟一的，但它們之間最多相差一常數。由相關函數 R(𝜏) 與由協方差函數 𝛤(r) 確定的譜分佈函數不同之處是它們對應的勒貝格-斯蒂爾傑斯測度在 0 點相差一常數。 ^[1] 

[spectral decomposition of correlation function]

相關函數譜分解亦稱相關函數譜表示（spectral representation of correlation function）或譜展式（spectral expansion equation）。將相關函數表示為其譜分佈函數的傅里葉變式。設弱平穩過程

有相關函數 R(t)，則當

時有

而當

時有

此即相關函數的譜分解式，其中

是概率分佈函數，稱

為

的譜分佈函數。特別地，當

，稱此

為譜密度函數（spectral density function）。相關函數的模可積是譜密度存在的一個充分條件。

[spectral representation of autocovariance]

記平穩序列的自協方差函數為

，根據譜表示理論，自協方差有如下的譜表示，即存在

上的非降的函數 F(x) 使得

稱 F(x) 為自協方差

的譜分佈函數。當F(x) 有密度函數時，即

時，則有

稱 f(x) 為

的譜分佈密度函數(spectral density function)。

根據譜理論，自協方差函數與譜分佈是相互唯一確定的，所以它們所描述序列的特性，本質上是相同的。在實際應用中，主要是根據序列的樣本數據 x(1)，x(2),...,x(T)，對譜分佈的統計理論與方法有較長的歷史，擁有較完備和豐富的文獻資料，多年來已在諸多領域中被實際應用。 ^[2]