誤差傳播定律

人們以任一未知量直接觀測值的中誤差,作為衡觀測值精度的標準。但在實際工作中,某些未知量不可能或不便於直接進行觀測,而需要由另外一些量的直接觀測值根據一定的函數關係計算出來。由於獨立觀測值不可避免地包含有誤差,導致獨立觀測值的函數也必然存在誤差。顯然獨立觀測值的中誤差和函數中誤差必定存在某些關係,闡述這種關係的定律稱為誤差傳播定律 ^[1]  。

當只有一個獨立的觀測值時,和函數與倍數函數運用誤差傳播定律不會出現悖論;如果在測量工作中有多餘的直接觀測值,就需用平差後的間接觀測值按協方差傳播律來計算,這樣數學中相等的函數關係才能得到同樣的函數中誤差結果 ^[2]  。

測量學誤差傳播定律是測繪科學基本的、簡單的定律，但作用較大，比如測量規範中，水平角觀測的限差確定，導線閉合差的限差確定，水準測量線路的限差確定，等等，都可以利用誤差傳播定律做到。此外，研究誤差傳播定律，還可以較好地解決一些測繪問題或解決較難的測繪問題，豐富和發展測量學教材誤差理論，因此，儘管我們在誤差傳播定律方面取得了可喜的成果，仍然需要進一步研究 ^[3]  。

倍數函數：Z=KX

則有：

觀測值與常數乘積的中誤差，等於觀測值中誤差乘常數。

和(差)函數：Z=X1±X2且X1、X2獨立，則有mz^2=mx1^2+mx2^2

兩觀測值代數和的中誤差平方，等於兩觀測值中誤差的平方和。

當Z是一組觀測值X1、X2……Xn代數和(差)的函數時，即Z=X1±X2±...±Xn

Z的中誤差的平方為mz^2=mx1^2+mx2^2+...+mxn^2

n個觀測值代數和(差)的中誤差平方，等於n個觀測值中誤差平方之和。

在同精度觀測時，觀測值代數和(差)的中誤差，與觀測值個數n的平方根成正比，即mz=m·（n）^1/2

線性函數Z=K1X1±K2X2±...±KnXn

則有mz=±[(k1m1)^2+(k2m2)^2+...+(knmn)^2]^1/2

一般函數：Z=f(X1,X2,...,Xn)

則有mz^2=(əf/əX1)^2m1^2+(əf/əX2)^2m2^2+...+(əf/əXn)^2mn^2

1. 列出觀測值函數的表達式

Z=f(x1,x2,...xn)

2.對函數Z進行全微分

Δz=(əf/əx1)Δx1+(əf/əx2)Δx2+...+(əf/əxn)Δxn

3.寫出函數中誤差與觀測值中誤差之間的關係式

mz^2=(əf/əX1)^2m1^2+(əf/əX2)^2m2^2+...+(əf/əXn)^2mn^2

4.計算觀測值函數中誤差