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角平分線長公式

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角平分線長公式描述了三角形內角平分線長與各線段間的定量關係。
中文名
角平分線長公式
學科領域
平面幾何

目錄

  1. 1 第一形式
  2. ▪ 公式
  3. ▪ 推導過程
  1. 2 第二形式
  2. ▪ 公式
  3. ▪ 推導過程
  1. 3 第三形式
  2. ▪ 公式
  3. ▪ 推導過程

角平分線長公式第一形式

角平分線長公式公式

在△ABC中，∠A的角平分線記為
，∠B的角平分線記為
，∠C的角平分線記為
，三邊邊長為a、b、c，則
其中p是半周長。 [1] 

角平分線長公式推導過程

圖1 圖1
證明。法一。如圖1，我們先證明
。
由角平分線定理可得
，並注意到
，消去
，化簡得
。
由余弦定理，
，
把
和
的表達式代入（1）中，
即
設
，那麼上式可以寫成
於是
其他角平分線長度同理可證。
證畢。
提要。法二。運用斯特瓦爾特定理，可得證明。 [2] 

角平分線長公式第二形式

角平分線長公式公式

三角形ABC的角平分線為AD，D在CB上。則
圖2 圖2

角平分線長公式推導過程

圖3 圖3
證明。如圖3，延長AC到E，使CE=CD，連接DE，則AE=AC+CD，
。在AB邊上取點F，使BF=BD，連接DF，則AF=AB－BD，∠BDF=∠BFD。則
即
又
則
於是
，便有
，故
又
由角平分線定理得
即
代入①中得
證畢。

角平分線長公式第三形式

角平分線長公式公式

△ABC中，角平分線

角平分線長公式推導過程

圖4 圖4
證明。如圖4，設AB、AC、AD長a、b、f。易知
即
於是
證畢。
外角平分線長公式
公式
下面不加證明地給出公式。在△ABC中，∠A的外角平分線記為
，∠B的角平分線記為
，∠C的角平分線記為
，三邊邊長為a、b、c，則
[1] 
參考資料
  • 1.    梁紹鴻．初等數學複習及研究（平面幾何）：人民教育出版社，1978.5：59
  • 2.    杜客君. 一道幾何難題的又一證明[J]. 四川文理學院學報, 1998(2):127-128.