複相關係數

複相關係數是度量複相關程度的指標，它可利用單相關係數和偏相關係數求得。

複相關係數越大，表明要素或變量之間的線性相關程度越密切。多重相關的實質就是Y的實際觀察值與由p個自變量預測的值的相關 ^[1]  。

複相關係數是測量一個變量與其他多個變量之間線性相關程度的指標。它不能直接測算，只能採取一定的方法進行間接測算。

測定一個變量y與其他多個變量

之間的相關係數。

不能直接測算。可以考慮構造一個關於

的線性組合，通過計算該線性組合與y之間的簡單相關係數作為變量y與

之間的複相關係數。

具體過程如下：

第一步，用y對

作迴歸，得：

。

第二步，計算簡單相關係數，即為y與

之間的複相關係數。

複相關係數的計算公式為：

^{[1]  [4-5]}  。

簡單相關係數：計學家卡爾·皮爾遜設計的統計指標，或稱線性相關係數、皮氏積矩相關係數等，是衡量兩個隨機變量之間線性相關程度的指標，通常以r表示。公式為

。

複相關係數：反映一個因變量與一組自變量(兩個或兩個以上)之間相關程度的指標，是度量複相關程度的指標。通常以R表示。計算公式為

^[5]  。

複相關係數與簡單相關係數的區別是簡單相關係數的取值範圍是[-1，1]，而複相關係數的取值範圍是[0，1]。這是因為，在兩個變量的情況下，迴歸係數有正負之分，所以在研究相關時，也有正相關和負相關之分；但在多個變量時，偏回歸係數有兩個或兩個以上，其符號有正有負，不能按正負來區別，所以複相關係數也就只取正值 ^[1]  。

為了解決多個因變量Y和多個自變量X之間的相關分析，假設X與Y的聯合正態分佈已知，而且X與Y存在線性相依，提出廣義複相關係數的定義、估計和檢驗。廣義複相關係數是簡單相關係數和複相關係數的自然推廣，應用上更為方便。

例如，在定量評價公路運輸的技術效率和規模效率時，可以採用複相關係數對投入指標進行處理，更準確反應公路系統的投入情況，將交通事故率納入產出指標，綜合考慮了公路經濟效益和外部性。 ^[2]  在研究晶體管噪聲模型複相關係數與其內部噪聲源的關係時，通過給出了晶體管噪聲功率譜複相關係數的定義及其計算公式，對複相關係數的實部和虛部在不同頻段進行了理論分析。通過複相關係數的實測結果與理論分析相符合，從而可以根據晶體管內部噪聲源的情況，對複相關係數γ的大小作出估計。 ^[3]