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裏奇曲率張量
鎖定
- 中文名
- 裏奇曲率張量
- 分 類
- 數理科學
裏奇曲率張量正式定義
- 注意,之後的方程如果使用愛因斯坦求和約定,不會特別註明。
已經知道里奇張量
,就可以用裏奇張量來定義裏奇曲率。如果
為
點的單位向量,則
裏奇曲率張量直接的幾何意義
對於黎曼流形(M,g)裏任意一點p的旁邊可以定義被稱為測地法座標系的局部座標系。這些通過p的測地線不但都對應着通過原點的直線,而且同時構成了從p的距離和從原點的歐幾里得距離的對應。這個座標系的度量張量是
好處就是,此座標是歐幾里得度量的良好近似。實際上,由於在法座標系的放射測地線產生的雅可比場適用的度量的泰勒展開,
可以得到
。
然後,在這個座標系,在p可以得到以下體積元素的展開。
裏奇曲率本質上就是包含
的平面的曲率平均。也就是説最初是圓形(或者是球形)放射狀的圓錐會扭曲未橢圓形狀,沿着主軸的彎曲是相互相反的作用,而且有把體積變為零的可能性。然後裏奇曲率沿着{\displaystyle \xi }會變為零。在物理的應用,一定要變零的切斷曲率的存在並不一定是局部性一定有什麼質量。世界線圓錐最初的圓形的橫切面是,要是變成了後來體積沒變化的橢圓,這個效果就是來自其他位置的質量的潮汐效果。
[1]
裏奇曲率張量無跡的裏奇張量
在黎曼幾何與廣義相對論中,一個偽黎曼流形(pseudo-Riemannian manifold){\displaystyle (M,g)}之無跡的裏奇張量(trace-free Ricci tensor)是一個定義如下的張量
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