表象理論

微觀粒子有波動和粒子兩重性質，1926年E.薛定諤從粒子的波動性出發，用波動方程來描述粒子體系的運動規律，解決了許多理論和實際的問題，這種理論就是波動力學。1925年左右，由W.K.海森伯、M.玻恩、W.泡利等從粒子的粒子性出發，用矩陣的形式來描述粒子體系的運動規律，也解決了同樣的問題，這種不同於波動方程的矩陣運算形式的理論稱為矩陣力學。

矩陣力學和波動力學描述客觀規律的形式雖然不同，但是兩者實質上是一致的，它們都是描述同一微觀粒子運動規律的理論。

比較直觀一點，粒子體系的狀態可用位置座標為自變量、時間為參量的波函數ψ（x,t）來描述（以下均考慮一維情況，所得結果易於推廣至三維），|ψ（x,t）|2表示t時刻粒子在位置座標x附近單位體積出現的幾率。但是ψ（x,t）可以用動量孨的本徵函數的正交、歸一、完全集{ψp（x）}展開，即 式中

展開係數

可見，粒子體系的狀態既可以由已知的 ψ（x,t）來描述，也可以用с（p,t）來描述。ψ（x,t）和с（p,t）是兩種等價的不同表示形式的波函數。ψ （x,t）叫做座標表象（或稱x表象）波函數，с（p,t）叫做動量表象（或稱p表象）波函數。

相似地ψ（x,t）可以用任一力學量孶的本徵函數完全集{Un（x）}（n=1,2,3，…）展開（為了便於説明，設孶的本徵值具有分立譜），即

展開係數為 因此，若已知ψ（x,t），則同樣可以通過式⑷算出an（t）來，用數字集合{an（t）}來描述這個狀態，{an（t）}叫做Q表象波函數。

可見，對於同一狀態，有不同的表示形式，分別都是用一組數字集合（分立的或連續的或兼而有之）來描述狀態，這些不同的表示形式中的每一個叫做一個表象。當要解決某特定問題時，便選取一個特定的Q表象，相當於選取一個特定的座標系。Q表象中的本徵函數正交、歸一、完全集{Un（x）},是這一表象中的一組基矢（簡稱基），它相當於座標系中的一組單位矢量，而波函數{an（t）}是態矢量ψ 在 Q表象中各基矢方向上的投影（一組數字），這就是表象理論的幾何圖像。

算符

表示力學量的算符，在不同表象中也有不同的表示形式。在座標表象中， 各種力學量的算符形式是 是動量算符。算符

作用在波函數ψ（x,t）上得到另一個新的波函數 Ф（x,t），即

在Q表象中可將ψ（x,t）和Ф（x,t）分別用孶 的本徵函數完全集{Un（x）}展開，展開係數的數字集合{an（t）}和{bn（t）}就是Q表象中分別與ψ（x,t）和Ф（x,t）等價的波函數。利用{Un（x）}正交、歸一的性質，可得到

式中 Q表象中的式⑹和座標表象中的式⑸相當，寫成矩陣運算形式時為 即在Q表象中，算符弲 的表示形式是把數字集合{Fmn}排成一個方形矩陣，Fmn表示方形矩陣中第n行第m列的元素，即

而波函數ψ（x,t）和Ф（x,t）在Q表象中的表示形式，是把數字集合{an（t）}和{bn（t）}分別排成一個列矩陣，即

對於孶的本徵值具有連續譜的情況，以上的論述仍然成立，只是{Un（t）}、{an（t）}和{bn（t）}等的角注 n要換成連續變化的λ，求和要換成對λ求積分，此時式 ⑺寫成 仍然把它看作矩陣元，{Fλ'λ}看成方形矩陣，{aλ（t）}和{bλ （t）}看成列矩陣，矩陣的行和列都是連續編號的。

量子力學中採用不同的表象在理論上是完全等價的，而在實際工作中選取什麼表象取決於所討論的問題，表象選得適當可以使問題簡化。

可以用表象理論的幾何圖像來説明表象變換。選取一個特定的表象，相當於在抽象的希耳伯特空間中選取一個有一組完全基矢（本徵函數集）的特定的座標系，表象變換相當於座標系的基矢變換，從一個A表象變換到一個B表象，相當於由一組基矢{ψn（x）}（┭的本徵函數集）變到另一組基矢{嗞α（x）}（峺）的本徵函數集，這種變換是通過一個變換矩陣的作用來實現的。{ψn（x）}是完全集，B表象中的每一基矢嗞α（x）都可按{ψn（x）}展開

可見這個變換矩陣是一種幺正矩陣，式⑻中兩種表象之間基矢的變換是一個幺正變換。

態

態的表象表示

⑴ 座標表象

以座標算符的本徵態為基底構成的表象稱為座標表象。

⑵ 動量表象

以動量算符的本徵態為基底構成的表象是動量表象。選x為自變量，動量算符的本徵函數是平面波。

動量表象也可以用動量為自變量表示。在Px表象中，粒子具有確定動量分量Px的波函數是以Px為自變量的函數

⑶ 任意表象

設有某一線性厄米算符。為敍述方便起見，假定算符具有分立本徵值譜。物理意義是：當體系處在以（r,t）所描述的狀態時，力學量Q具有確定值Qn的概率是具有和波函數統計解釋相同的概率解釋。

説明：希爾伯特空間，空間的維數等於完備、正交、歸一的本徵函數系中本徵函數的個數，它可以是有限維的，也可以是無窮維的，而且空間的基底既可以是個實向量也可以是個複函數。態矢量是個復矢量。

量子態希爾伯特空間中的態矢量； 波函數態矢量在特定基底中的分量，可用列矩陣或用函數表示； 任意算符的本徵函數系表象的基；不同表象不同基，不同座標系；本徵函數基矢；厄米算符的本徵函數系一組完備的基矢。