蝴蝶效應

1961年，愛德華·洛倫茲（Edward N.Lorenz）正在利用當時的計算機進行有關天氣預報的一系列計算。由於當時計算機非常原始，計算速度很慢，為了節省時間，洛倫茲便在第一次計算結束後，改從程序中間開始執行第二次計算。然後他就下樓喝咖啡去了 ^[1]  。

計算結果出來後，洛倫茲傻眼了：第二次計算產生的結果跟第一次完全不一樣。第一次計算到中段的結果是0.506127，而計算機打印出來的結果只保留小數點後三位0.506，洛倫茲的第二次計算就是用的這個三位精度的數開始的。兩次計算的中間值僅有萬分之一的誤差，沒想到就是這萬分之一的誤差導致結果面目全非。經過縝密的演算推導之後，洛倫茲總結了他的發現，提出了著名的“混沌理論”。根據這一理論，完全精確的天氣預報是不可能的，而較為精確的天氣預報也是不可能無限久遠的，超過十天的預報已基本不具有可信度。洛倫茲還發現了“洛倫茲吸引子”，或稱為“奇怪吸引子”，這是在其對流預報模型中出現的一種情況，預報的結果雖然收斂，但是其時間序列並不是穩態的，而是在不斷地移動中，具有非線性性和分形特徵。

1963年，愛德華·洛倫茲（Edward N.Lorenz）正式向紐約科學院提交了一篇名為《決定性的非週期流動》 ^[2]  的論文，指出大氣動力學數值計算所產生的混沌現象。

最初，洛倫茲用“海鷗效應”形容混沌現象帶來的不確定性。在後來的一次演講中，他把“海鷗效應”換成了更富詩意的“蝴蝶效應”，由此廣為人知。

20世紀90年代，洛倫茲還提出了“決定性混沌”理論，認為人類（生命）本身就是非線性的混沌系統，人類的心跳實際上是非規則的、不可預知的，這種不可預知性正是生命力的表現；而生物的應激性就是混沌系統比非混沌系統反應更快的表現 ^[3]  。

目前，有三種系統會存在對初始條件非常敏感的情況，即存在着“蝴蝶效應” ^[4]  。

第一種：發散的（divergent）動力系統。例如削尖的鉛筆，其筆尖立在桌子上。理論上它可以保持平衡，但是非常不穩定，稍微一點外力影響就會倒下。如果我們不考慮在鉛筆倒下過程中，桌子對鉛筆的阻擋作用，那麼鉛筆倒下之後，就會一直跌落下去，直到無窮遠。這個時候我們説，鉛筆動力系統的運動軌跡發散到了無窮。這樣的鉛筆動力系統就是發散的。從過程角度來説，發散的動力系統都具有初始條件敏感依賴性，只要初始條件有一點差異，那麼系統的演化過程就會很不一樣；從“結果”（長期行為）角度來説，發散的動力系統都不具備初始條件敏感依賴性，因為無論什麼樣的初始條件，系統的演化過程一定是朝向無窮大（或無窮遠）的。

第二種：具有多個平衡態和週期態的系統。例如範德波爾振盪器。這種振盪器是荷蘭物理學家 巴爾塔薩·範德波爾在1927年研究真空管時首次提出的動力系統。對於這種系統來説，當系統初始狀態在某一區域時，系統狀態先發散，之後的長期行為趨近於週期變化，而系統初始狀態在另外一些區域時，系統狀態不經發散直接趨於週期變化。如果改變這個動力系統的參數，又會出現，當系統初始狀態在某一區域時，系統狀態收斂到某一平衡態，而在另一區域時，系統狀態又趨於無窮。

第三種：混沌系統，例如洛倫茨所構建的系統。這類系統不僅具備初始條件敏感依賴性，而且既不發散，也不收斂，還表現出非週期現象。狹義的説，洛倫茨所考慮的蝴蝶效應，正是混沌系統的效應。但是嚴格的説，初始條件敏感依賴性，並不是混沌系統的專有性質。只是在20世紀60年代，人們對於混沌的認識不深，因此把蝴蝶效應定義為了初始條件敏感依賴性，而沒有注意區分蝴蝶效應和混沌行為。

注意：蝴蝶效應，也主要指混沌系統的初始條件敏感依賴性。然而，我們不應混淆蝴蝶效應和混沌系統。雖然混沌系統都具備這樣的性質，但是具備這樣性質的系統，卻不一定是混沌系統 ^[5]  。

首先寫出布辛尼斯克（Boussinesq）近似下的流體力學系統控制方程 ^[6-7]  ：

其中前三個方程是納維爾-斯托克斯（Navier-Stokes）方程的三個分量，第四個方程是熱力學方程，第五個方程是質量連續方程。

如果我們二維情況下引入了流函數 ^[10]  ，方程組將會簡化成兩個

而通過Saltzman 假設其解則可以在空間上表示成傅里葉形式 ^[8] 

最後將傅里葉形式的解帶入方程組便可得到洛倫茲系統的對流方程組（洛倫茲構建的系統）：

“蝴蝶效應”適用的對象，是一切處在動態之中的系統，如大氣層，生物圈，人類社會……它使得人們意識到，在這些複雜的動態系統之中，任何微小的擾動，其所帶來的後果，隨着預報時間的增長，都將成為混沌而不可預知的。對擾動的高度敏感，和計算技術的有限，註定這樣的預報存在一個上限。比如，天氣預報超過10天，其結果就基本失去參考意義 ^[9]  。

雖然蝴蝶效應具有不可預知性，不能被我們所用。但是它的影響已經走進了我們生活的方方面面。

太平洋上出現的“厄爾尼諾”現象就是“蝴蝶效應”在天氣中的一種體現。厄爾尼諾是熱帶大氣和海洋相互作用的產物，原是指赤道海面的一種異常增温，現在定義為全球範圍內海氣相互作用造成的氣候異常。厄爾尼諾的重要起因是沃克環流的變化。沃克環流是 1969 年由英國人沃克最初發現的,它發源於西太平洋赤道地區.陸地部分主要經過印度尼西亞和馬來西亞等國。大氣環流是支配大氣活動的主要動力之一，其變化也是氣候變化的主要原因之一。

在社會學界一個微小的事件，會對社會發展產生複雜影響。對於某些微小事件，如果不及時加以引導、調節，會給社會帶來巨大危害：如果能加以正確引導、調節，經過一段時間，可能會對社會發展起到巨大的推動作用。例如，1911 年 3月 25 日紐約市發生的一場工廠火災。火災發生在華盛頓廣場附近埃斯克大樓裏的三角女式襯衣公司，當時第 8 層的車間突然竄出火苗，並在幾分鐘內迅速成為一片火海，火災只持續半小時就被撲滅了。然而由於電梯失效，步行樓梯又被鎖住（為了防止女工偷竊工廠產品，這是那個年代的普遍做法），146條年輕的生命，竟因此在短短的半小時裏消逝了。這次火災引發了美國社會的一系列變革。

1998 年亞洲發生的金融危機和美國曾經發生的股市風暴實際上就是經濟運作中的“蝴蝶效應”。公元 1997 年 3 月至 5月，來自美國華爾街的“大蝴蝶”索羅斯突然“扇動翅膀”，驟然掀起泰國、印尼的金融風暴，隨即引發整個東南亞以至 1997 年包括東亞許多國家在內的金融危機。這場危機讓人們真正領略了蝴蝶效應在金融界乃至經濟領域的巨大影響。最新的一個事例是一隻美國“蝴蝶”導致全球手機市場格局驟然改變。2000 年 3 月,美國新墨西哥州阿爾伯克基的一家半導體工廠遭雷擊起火，這場只持續 10 分鐘的大火，竟徹底改變了歐洲兩大電子公司的力量對比。這家工廠為一些手機生產商提供芯片。由於當時愛立信公司反應遲緩，沒有其他的芯片供應商,不得不正式宣佈退出手機市場。而諾基亞則因富有遠見、反應快速，鞏固了其在歐洲電信技術領域的主宰地位。