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莫爾圓
鎖定
- 中文名
- 莫爾圓
- 外文名
- Mohr's Circle
- 別 名
- 莫爾應力圓
- 提出者
- K.庫爾曼,O. 莫爾
- 提出時間
- 1866,1882
- 應用學科
- 工程力學
- 學 科
- 工程力學
莫爾圓簡介
1866年德國的K.庫爾曼首先證明:物體中一點的二嚮應力狀態可用平面上的一個圓表示,這就是應力圓。1882年德國工程師克里斯蒂安O.莫爾(ChristianOttoMohr)對應力圓作了進一步的研究,提出藉助應力圓確定一點的應力狀態的幾何方法,後人就稱應力圓為莫爾應力圓,簡稱莫爾圓。
莫爾圓二嚮應力下的性質
對於二嚮應力狀態,若已知如圖1所示的單元體(實際代表物體中一個點)在兩相互垂直的截面上的應力σx、
和
、
(其中σx和σy為正應力,以拉伸為正;
和
為剪應力,順時針為正,且
=-
)則在以σ正應力為橫座標、剪應力
為縱座標的座標系中,可按下述步驟畫出莫爾圓:根據已知應力分量在座標系中畫出A(σx,
)和B(
,
)兩點,以AB連線與軸的交點C為圓心,以CA(或CB)為半徑畫圖,即得莫爾圓(圖2)。莫爾圓的方程[1]是:
二嚮應力狀態的莫爾圓有如下性質:
②若莫爾圓上的兩個點組成的圓心角為2α,則單元體上相應的兩個截面的外法向的夾角為α,且角度的轉向相同。
根據上述性質,以單元體上某個面為基面,以莫爾圓上與該面對應的點為基點,就能求出單元體中各截面上的應力,或找出最大剪應力面和主平面(即剪應力為零的平面)的方向。
莫爾圓三向應力下的性質
三向應力狀態的莫爾圓是在已知物體上一點的三個主應力σ1、σ2、σ3的前提下得到的。如圖4所示,若σ1>σ2>σ3,則三向應力狀態的莫爾圓具有如下性質:物體內所考慮點的任意方向截面上的正應力和剪應力在σ-τ座標系中對應的點,都落在圖中的陰影部分。即莫爾圓給出了一點的應力範圍。若已知截面的法向與三個主應力方向的夾角或方向餘弦,也可通過幾何方法確定出該截面上正應力和剪應力的值。但在一般工程應用中,知道應力範圍就足夠了。
[2]
對於應變,也有相同形式的莫爾圓。