莫爾圓

1866年德國的K.庫爾曼首先證明：物體中一點的二嚮應力狀態可用平面上的一個圓表示，這就是應力圓。1882年德國工程師克里斯蒂安O.莫爾（ChristianOttoMohr）對應力圓作了進一步的研究，提出藉助應力圓確定一點的應力狀態的幾何方法，後人就稱應力圓為莫爾應力圓，簡稱莫爾圓。

對於二嚮應力狀態，若已知如圖1所示的單元體（實際代表物體中一個點）在兩相互垂直的截面上的應力σ_x、

和

、

（其中σ_x和σ_y為正應力，以拉伸為正；

和

為剪應力，順時針為正，且

=-

）則在以σ正應力為橫座標、剪應力

為縱座標的座標系中，可按下述步驟畫出莫爾圓：根據已知應力分量在座標系中畫出A（σx，

）和B（

，

）兩點，以AB連線與軸的交點C為圓心，以CA（或CB）為半徑畫圖，即得莫爾圓（圖2）。莫爾圓的方程[1]是：

二嚮應力狀態的莫爾圓有如下性質：

①莫爾圓上每一點的座標都對應於單元體上某一截面上的正應力和剪應力；

②若莫爾圓上的兩個點組成的圓心角為2α，則單元體上相應的兩個截面的外法向的夾角為α，且角度的轉向相同。

根據上述性質，以單元體上某個面為基面，以莫爾圓上與該面對應的點為基點，就能求出單元體中各截面上的應力，或找出最大剪應力面和主平面（即剪應力為零的平面）的方向。

三向應力狀態的莫爾圓是在已知物體上一點的三個主應力σ₁、σ₂、σ₃的前提下得到的。如圖4所示，若σ₁>σ₂>σ₃，則三向應力狀態的莫爾圓具有如下性質：物體內所考慮點的任意方向截面上的正應力和剪應力在σ-τ座標系中對應的點，都落在圖中的陰影部分。即莫爾圓給出了一點的應力範圍。若已知截面的法向與三個主應力方向的夾角或方向餘弦，也可通過幾何方法確定出該截面上正應力和剪應力的值。但在一般工程應用中，知道應力範圍就足夠了。 ^[2] 

對於應變，也有相同形式的莫爾圓。