若爾當容度

若爾當容度是長度(或面積、體積)概念的一種推廣，以平面情形為例，設A為

平面上的有界點集，先用平行於x軸和平行於y軸的直線，將

平面分為邊長為1的閉正方形網格，第二次再將這每個正方形分為四個大小相同的閉正方形，如此下去，用

表示至少含A的一個點的那些第n次所得閉正方形組成之集，用

表示第n次得到的正方形中全部含於A的那些組成之集，並且用

分別表示

和

中的閉正方形的面積之和。數

和

分別稱為A的外容度和內容度。當A的內、外容度相等時，A稱為若爾當可測，這個公共值稱為A的若爾當容度，簡稱容度，記為

。對直線上以及一般

中的集合可以類似地定義它的可測性及容度。可以證明，一個集合在若爾當意義下可測與否以及可測時的容度數值，與上述定義中的分法及座標軸方向無關 ^[1]  。

定義1設S是

的一個緊區間

的一個子集．對於

的每個劃分P定義了

是P的只包含S的內點的那些子區間的測度的和，

是P的包含

的點的那些子區間的測度的和。下面兩個數

分別稱為S的(n維)若爾當內容度和若爾當外容度，集合S稱為是若爾當可測的，如果

。在S若爾當可測的情況下，

的這個共同值稱為S的若爾當容度， 用

來表示 ^[2]  。

容易驗證

僅依賴於S，而不依賴於包含S的區間

，而且有

。

如果S有零容度，則

。於是，對於每一個

，S可以被區間的一個有限族覆蓋，該有限族中各區間測度之和

。注意零容度是用有限覆蓋的語言來描述的，而零測度是用可數覆蓋的語言來描述的。任何有零容度的集合也有零測度，但是反過來説則未必成立。

每一個緊區間Q都是若爾當可測的，而且它的容度

等於它的測度

。如果k<n，則

內的每一個有界集的n維容度都是零。

內的若爾當可測集S也稱為有面積

。在這種情況下，

和

分別表示從S的“內部”與“外部”對S的面積的逼近，這在圖1中進行了描繪，圖中帶有淺色陰影的矩形算在

內，帶有深色陰影的矩形算在了

內。對於

內的集合，

也稱為S的體積。

下面這個定理表明一個有界集有若爾當容度當且僅當它的邊界不是太“厚”。

定理1 設S是

內的一個有界集，

表示它的邊界，則有

於是S是若爾當可測的，當且僅當

有零容度。

定理2 設S是

內的一個若爾當可測集，

在S上定義且有界，於是

於S，當且僅當

在S內的不連續點構成一個零測度集。

定理3 設S是

內的一個緊的若爾當可測集，於是積分,

存在，而且有

下面這個定理表明黎曼積分關於有若爾當容度的集合是可加的。

定理4 假定在

內的一個若爾當可測集S上有

，假設

，其中A與B都是若爾當可測的，但是它們沒有公共的內點．於是

於A，

於B，而且有 ^[2]