芬斯勒流形

芬斯勒流形(Finsler manifold)亦稱芬斯勒空間，是一種比黎曼流形更廣泛的度量空間。設

是微分流形

的一個座標系，

是一條曲線，定義它的弧長為

其中

是芬斯勒度量函數，這樣的微分流形

稱為芬斯勒流形。

是黎曼度量

的推廣。像黎曼流形一樣，芬斯勒流形的兩點之間的距離定義為連接這兩點的曲線弧長的下確界。關於這個距離，芬斯勒流形是度量空間，度量拓撲和原來微分流形拓撲一致，黎曼流形作為度量空間的許多性質可以推廣到芬斯勒空間。黎曼(Riemann，G.F.B.)曾經考慮過以這樣一般化的度量為基礎討論流形，但是他認為用黎曼度量更為適當，芬斯勒( Finsler，P.)於1918年在學位論文中系統地研究了這種推廣的度量，把經典的曲線和曲面論中許多概念和定理推廣過來，嘉當(Cartan，E.)於1933年引進聯絡並得到許多重要結論才使芬斯勒流形幾何理論逐漸完整，陳省身於1990年發現了一個新聯絡，使芬斯勒幾何的發展推向一個新階段，尤其是成功地開展了整體芬斯勒幾何的研究，芬斯勒空間

是對線素

賦予度量的一種微分流形，作為對偶的概念有嘉當空間，它對超平面素賦予度量，進一步的推廣還有道路空間和K展空間等，統稱為一般空間。芬斯勒流形幾何理論在廣義相對論和其他物理學領域中有許多應用，近年來無限維芬斯勒流形在非線性分析中有重要作用 ^[1]  。

芬斯勒度量(Finsler metric)是黎曼度量的一種推廣。若

是n維微分流形，

是

的切叢，

上的芬斯勒度量是定義在切叢

上滿足下列條件的連續的實值函數F：設

是

上局部座標系，

是

的點

的局部座標，其中

是

的點x的局部座標，

是

在x的切向量y的分量，即

則：

1.在

可微；

2.對任意實數

3.以

為元素的矩陣是正定的。

此時，

稱為芬斯勒空間，函數F也稱為芬斯勒空間

的度量函數.以

為分量的張量稱為

的度量張量或基本張量，

稱為基本形式.當

是

的二次齊式時，

這個芬斯勒度量是黎曼度量，微分流形上存在芬斯勒度量的充分必要條件是它為仿緊的 ^[1]  。